2026年捷克-斯洛伐克数学奥林匹克

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1. 第一天第 1 题　设 $x,y,z$ 均为正实数，且满足 $x^2+y^2+z^2=75$。已知 $x+y$、$y+z$、$z+x$ 这三个和中至少有两个大于或等于 $10$，求剩余那个和的最小值与最大值。
2. 第一天第 2 题　设 $T$ 为锐角 $\triangle ABC$ 的重心，$P$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆的劣弧 $BC$ 上一点，$P'$ 为点 $P$ 向线段 $BC$ 所作垂线的垂足。设 $X$ 为直线 $P'T$ 与过点 $A$ 且平行于 $BC$ 的直线的交点，$S$ 为线段 $PX$ 的中点。求证：$\angle BAP=\angle SAC$。
3. 第一天第 3 题　称一个人群为「三元连通群」，当且仅当：（1）群中每个人都恰好认识群中的另外 $3$ 个人；（2）该群无法被划分为两个非空子集，使得每个人的所有熟人都在自己的子集内（即该社交网络是连通的）。其中认识关系是相互的。求最大的整数 $k\ge 3$，使得存在正整数 $n$，满足：从任意一个人数不少于 $n$ 的三元连通群中，都可以选出至少 $k$ 个人，将他们安排在一张圆桌旁就座，使得任意两个相邻的人都互相认识。
4. 第二天第 4 题　设 $a,b$ 为互不相同的正整数，且 $a^2+1$ 与 $ab+1$ 有相同的素因子集合。求证：$a^2+b^2+2$ 可被某个素数的平方整除。
5. 第二天第 5 题　设 $\mathcal{P}=(a_1,a_2,\dots,a_{2026})$ 是 $1,2,\dots,2026$ 的任意一个排列。称下标 $i\in\{1,2,\cdots,2026\}$ 为「好下标」，当且仅当以下所有数均非负：$a_i$；$a_i-a_{i+1}$；$a_i-a_{i+1}+a_{i+2}$；$a_i-a_{i+1}+a_{i+2}-a_{i+3}$；$\cdots$；$a_i-a_{i+1}+\cdots-a_{i+2023}+a_{i+2024}$；$a_i-a_{i+1}+\cdots-a_{i+2023}+a_{i+2024}-a_{i+2025}$。其中下标按模 $2026$ 理解，即对任意整数 $j$，有 $a_{j+2026}=a_j$。记 $n(\mathcal{P})$ 为排列 $\mathcal{P}$ 中好下标的个数，求 $n(\mathcal{P})$ 的最小可能值与最大可能值。
6. 第二天第 6 题　设六边形 $ABCDEF$ 内接于 $\odot O$，且其每一组对边互相平行。直线 $AB$、$CD$、$EF$ 围成三角形 $\triangle_1$，直线 $BC$、$DE$、$FA$ 围成三角形 $\triangle_2$。求证：$\triangle_1$ 与 $\triangle_2$ 的外心关于点 $O$ 对称。