2022年罗马尼亚数学奥林匹克（区域级）

九年级组

1. 函数𝑓：ℕ^(∗)→ℕ^(∗)满足对于任意𝑥，𝑦∈ℕ^(∗)，都有

   公式：\frac{x^3+3x^2f(y)}{x+f(y)}+\frac{y^3+3y^2f(x)}{y+f(x)}=\frac{(x+y)^3}{f(x+y)}.

   (1)求证：𝑓(1)=1．
   (2)求函数𝑓．
2. (1)求证：对于任意𝑥≥0，都有2𝑥^(3)−3𝑥^(2)+1≥0．
   (2)设𝑥，𝑦，𝑧≥0，满足(2)/(1+𝑥^(3))+(2)/(1+𝑦^(3))+(2)/(1+𝑧^(3))=3．求证：

   公式：\frac{1-x}{1-x+x^2}+\frac{1-y}{1-y+y^2}+\frac{1-z}{1-z+z^2}\geq 0.
3. (1)求方程3^(𝑥)=𝑥+2的正整数解．
   (2)求二元自然数组(𝑥,𝑦)，使得𝑥+3^(𝑦)和𝑦+3^(𝑥)为相邻整数．
4. 称平面上的六点组成的集合“可拆分的”，如果能将其分别记为𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸，𝐹，且△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹有相同的重心．
   (1)构造一个可拆分的点集．
   (2)证明：任意7点构成的集合总存在一个不可拆分的六元子集．

十年级组

1. 求所有𝑥∈(0,(3)/(4))，满足

   公式：\log_x(1-x)+\log_2\frac{1-x}{x}=\frac{1}{(\log_2x)^2}.
2. 复数𝑧_(1)，𝑧_(2)，𝑧_(3)的模长均为1，且对于任意𝑖≠𝑗∈{1,2,3}，都有|𝑧_(𝑖)−𝑧_(𝑗)|≥√(2)．求证：

   公式：|z_1+z_2|+|z_2+z_3|+|z_3+z_1|\leq 3.
3. 称一个正整数𝑛≥4“有趣的”，如果存在模长为1的复数𝑧，满足

   1+𝑧+𝑧^(2)+𝑧^(𝑛−1)+𝑧^(𝑛)=0.

   问：有多少个小于2022的有趣的数？
4. 求所有函数𝑓：ℝ→ℝ，满足对任意𝑥，𝑦∈ℝ，都有

   公式：f(f(y-x)-xf(y))+f(x)=y\cdot(1-f(x)).

十一年级组

1. 函数𝑓，𝑔：ℝ→ℝ满足对任意𝑎∈ℝ，都有

   公式：\inf_{x>a}f(x)=g(a)\text{且}\sup_{x

   给定满足达布条件(中值定理条件)的函数𝑓，求证：𝑓和𝑔均连续，且两者相等．
2. 𝐴和𝐵均为3阶实矩阵，且𝐴^(2)+𝐵^(2)=𝑂_(3)．求证：对任意实数𝑎和𝑏，det(𝑎𝐴+𝑏𝐵)=0．
3. 数列{𝑥_(𝑛)}定义如下：𝑥_(1)=1，对于任意𝑛≥1，公式：x_{n+1}=\dfrac{x_1}{n+1}+\dfrac{x_2}{n+2}+\cdots+\dfrac{x_n}{2n}．数列{𝑦_(𝑛)}满足对于任意𝑛≥1，𝑦_(𝑛)=(𝑥21+𝑥22+⋯+𝑥2𝑛)/(𝑛)．求证：
   (1)对于任意𝑛≥1，𝑥2𝑛+1<(𝑦_(𝑛))/(2)，且𝑦_(𝑛+1)<(2𝑛+1)/(2𝑛+2)𝑦_(𝑛)．
   (2)lim_(𝑛→∞)𝑥_(𝑛)=0．
4. 整数𝑛≥2，𝐴为𝑛阶复矩阵．求证：若公式：m=|\{\text{rank}(A^k)-\text{rank}(A^{k+1})\mid k\in\mathbb{N}^*\}|，则𝑛+1≥(𝑚(𝑚+1))/(2)．

十二年级组

1. 设𝑒为半群(𝑀,⋅)的幺元，且𝑎∈𝑀为一个可逆元．求证：
   (1)集合𝑀_(𝑎):={𝑥∈𝑀∣𝑎𝑥^(2)𝑎=𝑒}非空．
   (2)若𝑏∈𝑀_(𝑎)可逆，则𝑏^(−1)∈𝑀_(𝑎)当且仅当𝑎^(4)=𝑒．
   (3)若(𝑀_(𝑎),⋅)为半群，则对任意𝑥∈𝑀_(𝑎)，都有𝑥^(2)=𝑒．
2. 设(𝐺,⋅)为一个群，𝐻≠𝐺为一个子群，满足对任意𝑥，𝑦∈𝐺∖𝐻，都有𝑥^(2)=𝑦^(2)．求证：(𝐻,⋅)为阿贝尔群．
3. 求所有𝑛∈ℕ^(∗)，满足

   公式：I_n:=\int_0^\pi\cos(x)\cdot\cos(2x)\cdot\ldots\cdot\cos(nx) \ dx=0.
4. 开区间𝐼⊂ℝ，𝑓：𝐼→ℝ为一个严格单调函数．求证：对于任意𝑐∈𝐼，存在𝑎，𝑏∈𝐼，使得𝑐∈(𝑎,𝑏)，且

   ∫𝑏𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑓(𝑐)⋅(𝑏−𝑎).