2022年函数方程奥林匹克（SEIF）预选题

记号说明：

1. 本试题中，ℕ表示正整数集，ℕ_(0)则表示自然数集．
2. 𝑓^(𝑚)(𝑛)表示𝑓(𝑛)的𝑚次迭代，𝑓(𝑛)^(𝑚)则表示𝑓(𝑛)的𝑚次方．
3. 对正整数𝑛，[𝑛]表示集合{1,2,⋯,𝑛}．
   
   

代数组

1. （第1天第1题） 求所有函数𝑓：ℝ→ℝ，使得对任意𝑥,𝑦∈ℝ，都有

   公式：x^3+f(x)f(y)=f(f(x^3)+f(xy)).
2. 求所有函数𝑓：ℕ→ℕ，使得存在𝑘∈ℕ，满足对于任意𝑥,𝑦∈ℕ，都有

   公式：\dfrac{f(x+y)+f(x)}{ky+f(x)}=\dfrac{kx+f(y)}{f(x+y)+f(y)}.
3. 求所有函数𝑓：ℝ→ℝ，使得对任意𝑥,𝑦∈ℝ，都有

   公式：f(xf(y))+xf(x-y)=x^2+f(2x).
4. 求所有函数𝑓：ℕ→ℕ，使得对任意𝑥,𝑦∈ℕ，都有

   公式：f^{x+f(y)-y}(xy)=xf(y)+1.
5. （第2天第3题） 求所有函数𝑓：ℝ→ℝ，使得对任意𝑥,𝑦∈ℝ，都有

   公式：f(x+yf(x))=f(xy+1)+f(x-y).

组合组

1. 求所有正整数𝑛，使得存在函数𝑓：[𝑛]→[𝑛]，满足对任意𝑖∈[𝑛]，都有|𝑓(𝑖)−𝑖𝑓_(𝑖)|=1，其中𝑓_(𝑖)表示满足𝑓(𝑗)=𝑖的𝑗∈[𝑛]．
2. （第1天第2题） 定义集合2^([𝑛])为集合[𝑛]的子集构成的集合．求所有函数𝑓：2^([𝑛])→2^([𝑛])，满足对任意[𝑛]的子集𝐴和𝐵，都有

   |𝐴∩𝑓(𝐵)|=|𝐵∩𝑓(𝐴)|.
3. （第2天第2题） 设𝜋为集合[𝑛]的一个排列．称数对(𝑖,𝑗)为逆序的，如果𝑖<𝑗，且𝜋(𝑖)>𝜋(𝑗)．设𝐼为𝜋中逆序对的个数．求证：

   𝐼≤∑_(𝑘=1)^(𝑛)|𝑘−𝜋(𝑘)|≤2𝐼

   并求出等号成立条件．

数论组

1. 求所有函数𝑓：ℕ→ℕ，使得对任意正整数𝑚，𝑛，都有𝑓(𝑚+𝑛)∣𝑓(𝑚)+𝑓(𝑛)，且𝑓(𝑚)𝑓(𝑛)∣𝑓(𝑚𝑛)．
2. （第2天第1题） 给定正整数𝑛．求所有函数𝑓：ℕ→ℕ，使得对任意𝑎,𝑏∈ℕ，都有

   𝑎+𝑓(𝑏)∣𝑎𝑓(𝑎^(𝑛−1))+𝑓(𝑏)^(𝑛).
3. 求所有函数𝑓：ℤ→ℤ，使得对任意整数𝑥，𝑦，𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)+𝑓(𝑥𝑦)+𝑥+𝑦均为素数．
4. 求所有函数𝑓：ℕ_(0)→ℕ_(0)，同时满足如下条件：

• 𝑓(0)=0；
• 存在定值𝛼，使得对任意𝑛∈ℕ_(0)，都有𝑓(𝑛^(2022))≤𝑛^(2022)+𝛼；
• 对任意𝑎，𝑏，𝑐∈ℕ_(0)，𝑎𝑓^(𝑏)(𝑎)+𝑏𝑓^(𝑐)(𝑏)+𝑐𝑓^(𝑎)(𝑐)均为完全平方数．

5. （第1天第3题） 求所有函数𝑓：ℕ→ℕ，使得对任意𝑚,𝑛∈ℕ，都有

   𝑓^(𝑓(𝑚))(𝑛)∣𝑚+𝑛+1.