2025年巴尔干地区数学奥林匹克预选题

代数

1. 求所有实系数多项式𝑃(𝑥)，使得对任意𝑥,𝑦∈ℝ，均满足

   𝑃^(2)(𝑥)+𝑃^(2)(𝑦)+𝑃^(2)(𝑥+𝑦)=2𝑃(𝑥^(2)+𝑥𝑦+𝑦^(2))
2. 求所有正整数𝑛，使得对任意𝑥>0，不等式𝑥^(𝑛)+2𝑥+1≥4𝑥^(2)恒成立．
3. 设𝑓:ℝ^(+)→ℝ^(+)为非常数函数．证明：存在𝑎,𝑏∈ℝ^(+)，使得𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)>2𝑓(√(𝑎𝑏))．

4. 证明：对任意𝑎,𝑏,𝑐>0，不等式

   ((𝑎^(2)+𝑏^(2))/(𝑎+𝑏))^(3)+((𝑏^(2)+𝑐^(2))/(𝑏+𝑐))^(3)+((𝑐^(2)+𝑎^(2))/(𝑐+𝑎))^(3)≥𝑎^(3)+𝑏^(3)+𝑐^(3)

   恒成立．

   求所有函数𝑓:ℝ→ℝ，使得对任意𝑥,𝑦∈ℝ，均满足

   𝑓(𝑥+𝑦𝑓(𝑥))+𝑦=𝑥𝑦+𝑓(𝑥+𝑦)

   设正实数𝑎,𝑏,𝑐满足𝑎^(2)𝑏+𝑎^(2)𝑐+𝑏^(2)𝑎+𝑏^(2)𝑐+𝑐^(2)𝑎+𝑐^(2)𝑏=1，证明：

   (𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎)/(1+2𝑎𝑏𝑐)≤((𝑎+𝑏+𝑐)^(2))/(4)

   设𝑥_(1),𝑥_(2),𝑥_(3),𝑥_(4)为正实数，证明：

   (𝑥_(1)+3𝑥_(2))/(𝑥_(2)+𝑥_(3))+(𝑥_(2)+3𝑥_(3))/(𝑥_(3)+𝑥_(4))+(𝑥_(3)+3𝑥_(4))/(𝑥_(4)+𝑥_(1))+(𝑥_(4)+3𝑥_(1))/(𝑥_(1)+𝑥_(2))≥8

组合

1. 给定一张𝑚行22列的方格表格，每个方格填入集合𝐴={1,2,3,…,2025}中的一个数（允许重复）．要求：对集合𝐴中任意一对互不相同的数，都存在某一行恰好包含其中一个数．求正整数𝑚的最小值．
2. 若一个图的边可以用两种颜色染色，且图中不存在包含两条连续同色边的圈，则称该图为好图．求具有1000个顶点的好图的最大边数．
3. 一只兔子位于欧几里得平面内点(𝑥,𝑦)处，平面内分布若干个地雷（可以有无穷多个），每个地雷为任意半径的圆盘．任意两个地雷至多有一个公共切点，无其他交点．兔子每次跳跃的距离严格等于1，且不能落入任意地雷的内部（可以落在地雷边界上）．已知兔子与坐标原点均不在任何地雷内部，求最小的实数𝜖，使得无论地雷如何布设，兔子总能到达与原点距离不超过𝜖的位置．
4. 某社交网络共有2025名用户，任意两名不同用户要么互为好友，要么互不为好友．若一名用户没有任何好友，则称其为孤独用户．初始状态下，网络中不存在孤独用户，且用户Alice与Bob互不为好友．定义好友反转操作：一名用户将自身所有好友关系全部取反，原有好友变为非好友，原有非好友变为好友．证明：可以将2025名用户排成一个序列，按序列顺序依次对每名用户执行好友反转操作，且操作全过程中始终不存在孤独用户．
5. 设𝑛,𝑚为正整数且𝑛≥2．共有𝑛堆石子，各堆石子数量依次为𝑎_(1),𝑎_(2),…,𝑎_(𝑛)，满足对任意1≤𝑖≤𝑛，有𝑚≤𝑎_(𝑖)≤𝑚⋅𝑖（由此可得𝑎_(1)=𝑚）．Aida与Bob进行如下游戏：每一轮Bob任选两堆非空石子，从石子数量较少的一堆中取走若干石子；若两堆石子数量相等，则任选其中一堆取子．随后Aida做出二选一决策：要么从另一堆中取走相同数量的石子，要么将Bob刚取走的石子全部移至另一堆中．当场上至多仅剩一堆非空石子时游戏结束．求最小的正整数𝑘，使得无论初始石子数量如何、无论Bob如何操作，Aida都能保证游戏过程中某一时刻全场石子总数不超过𝑘．
6. 某国有𝑛座城市（𝑛≥100，𝑛为整数），部分城市之间设有双向直飞航线．对任意两座城市𝐴,𝐵给出如下定义： (i)𝐴到𝐵的路径：由两两不同城市构成的序列𝐴=𝐶_(0),𝐶_(1),…,𝐶_(𝑘+1)=𝐵（𝑘≥0），满足对任意0≤𝑖≤𝑘，𝐶_(𝑖)与𝐶_(𝑖+1)之间有直飞航线； (ii)𝐴到𝐵的最长路径：一条𝐴到𝐵的路径，且不存在其他𝐴到𝐵的路径包含更多顶点； (iii)𝐴到𝐵的最短路径：一条𝐴到𝐵的路径，且不存在其他𝐴到𝐵的路径包含更少顶点． 已知该国任意两座城市𝐴,𝐵，都存在一条最长路径与一条最短路径，两条路径除端点𝐴,𝐵外无其他公共顶点．记𝐹为该国所有直飞航线对应的城市对数量，求𝐹关于𝑛的所有可能取值．

几何

1. 设△𝐴𝐵𝐶满足𝐴𝐵<𝐴𝐶，点𝐷在边𝐴𝐶上，且𝐴𝐷=(𝐴𝐶−𝐴𝐵)/(2)．过点𝐴作直线𝑙∥𝐵𝐶，在直线𝑙上取点𝑋,𝑌满足𝐵𝑋=𝐶𝑌，且直线𝐴𝐶与△𝑋𝐷𝑌的外接圆相切．证明：△𝑋𝐷𝑌的外接圆在点𝑋,𝑌处的两条切线交于直线𝐵𝐶上．
2. 设△𝐴𝐵𝐶满足∠𝐵𝐴𝐶=2∠𝐶𝐵𝐴且𝐴𝐵<𝐴𝐶，点𝑃在线段𝐴𝐶上且𝑃𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝑃．设𝑂为△𝐴𝐵𝑃的外心，过点𝑂作𝐴𝐵的平行线交𝐵𝑃于点𝑄．证明：直线𝐴𝑄经过线段𝐵𝐶的中点．
3. 设锐角△𝐴𝐵𝐶的垂心为𝐻，𝐷为边𝐵𝐶上任意一点．点𝐸,𝐹分别在线段𝐴𝐵,𝐴𝐶上，满足𝐴,𝐵,𝐷,𝐹四点共圆，𝐴,𝐶,𝐷,𝐸四点共圆．设𝐵𝐹与𝐶𝐸交于点𝑃，点𝐿在射线𝐻𝐴上，且直线𝐿𝐶与△𝑃𝐵𝐶的外接圆相切于点𝐶．设𝐵𝐻与𝐶𝑃交于点𝑋，证明：𝐷,𝑋,𝐿三点共线．
4. 设𝐼为△𝐴𝐵𝐶的内心，点𝐷在△𝐴𝐵𝐶不含顶点𝐶的弧𝐴𝐵^(ˆ)上任取一点．设𝐼_(𝐴),𝐼_(𝐵)分别为△𝐵𝐶𝐷与△𝐴𝐶𝐷的内心，直线𝐷𝐼_(𝐴)与𝐼𝐼_(𝐵)交于点𝑋_(𝐴)，直线𝐷𝐼_(𝐵)与𝐼𝐼_(𝐴)交于点𝑋_(𝐵)．证明：直线𝑋_(𝐴)𝑋_(𝐵)与𝐼_(𝐴)𝐼_(𝐵)的交点落在一条与点𝐷位置无关的定直线上．
5. 设凸四边形𝐴𝐵𝐶𝐷满足𝐴𝐵^(2)+𝐵𝐶^(2)=𝐴𝐷^(2)+𝐶𝐷^(2)，取点𝑋,𝑌使得𝑋𝐷⊥𝐶𝐷、𝑋𝐵⊥𝐴𝐵、𝑌𝐵⊥𝐵𝐶、𝑌𝐷⊥𝐴𝐷．设直线𝐴𝐶与直线𝑋𝑌交于点𝑇，𝑀为线段𝑋𝑌的中点，证明：𝑇,𝑀,𝐵,𝐷四点共圆．
6. 设锐角△𝐴𝐵𝐶内接于以𝑂为圆心的圆𝜔_(1)，且𝐴𝐵<𝐴𝐶．记𝐻为△𝐴𝐵𝐶的垂心，𝑀为边𝐵𝐶的中点，𝜔_(2)为△𝐵𝐻𝐶的外接圆．设直线𝐻𝑂与圆𝜔_(2)交于异于𝐻的点𝐾，直线𝑀𝐾与圆𝜔_(2)交于异于𝐾的点𝑃．证明：圆𝜔_(1)在点𝐴处的切线与圆𝜔_(2)在点𝑃处的切线，两线交点落在△𝐴𝑃𝐾的外接圆上．

数论

1. 设𝑘为正整数，𝑛_(1),𝑛_(2),…,𝑛_(𝑘)是𝑘个大于1的互不相同整数，且存在正整数𝑎使得𝑛_(1)!+𝑛_(2)!+⋯+𝑛_(𝑘)!=𝑎^(𝑛_(𝑘))．证明：𝑛_(1),𝑛_(2),…,𝑛_(𝑘)中至少有一个为质数．
2. 若存在1,2,…,𝑛的一个排列𝑎_(1),𝑎_(2),…,𝑎_(𝑛)，满足如下两个条件： (i) 对任意1≤𝑖≤𝑛−1，𝑎_(𝑖)与𝑎_(𝑖+1)奇偶性不同； (ii) 对任意1≤𝑘≤𝑛，部分和𝑎_(1)+𝑎_(2)+⋯+𝑎_(𝑘)是模𝑛的二次剩余． 则称整数𝑛>1为好数．证明：存在无穷多个好数，同时也存在无穷多个不是好数的正整数．
3. 给定正整数𝑘，若正整数数对(𝑎,𝑏)满足𝑎∣𝑏^(𝑘)+1且𝑏∣𝑎^(𝑘)+1，则称(𝑎,𝑏)为一组𝑘−好对．求所有正整数𝑘，使得存在无穷多组𝑘−好对．
4. 设𝑎,𝑏,𝑘为正整数，若对任意整数𝑛≥2025，总存在正整数𝑥_(𝑛)>𝑛，使得𝑥_(𝑛)∣𝑛^(2)+𝑎且𝑥_(𝑛)+𝑘∣𝑛^(2)+𝑏．证明：𝑘=𝑏−𝑎．
5. 设𝑘>2为给定正整数，求所有正整数𝑑，使得存在整系数多项式𝑃(𝑥)满足deg⁡𝑃(𝑥)=𝑑，且对任意正整数𝑛>𝑘，均有11^(𝑘)∣2025^(𝑛)+𝑃(𝑛)．
6. 求所有整系数多项式𝑃(𝑥)，使得存在正整数𝑁，对任意正整数𝑛>𝑁，都有𝑃(𝑛)>0且𝑛+𝑃(𝑛)∣𝑛^(𝑃(𝑛))+𝑃(𝑛)^(𝑛)．