赛题翻译
系列：巴尔干数学奥林匹克
2022年巴尔干数学奥林匹克
公众号原标题：2022年巴尔干数学奥林匹克——中文翻译（显示标题做过精简）
正文文字 336 字公式 41 处1 图
锐角三角形𝐴𝐵𝐶满足𝐶𝐴≠𝐶𝐵，其外接圆为𝜔，外心为𝑂．设𝑡_(𝐴)和𝑡_(𝐵)分别为𝜔在点𝐴和点𝐵处的切线，且相交于点𝑋．点𝑌为点𝑂在线段𝐶𝑋上的射影．过点𝐶作𝐴𝐵的平行线交𝑡_(𝐴)于点𝑍．求证：直线𝑌𝑍平分线段𝐴𝐶．
设𝑎，𝑏和𝑛均为正整数，且𝑎>𝑏，满足以下条件：
(1)𝑎^(2021)∣𝑛；
(2)𝑏^(2021)∣𝑛；
(3)2022∣𝑎−𝑏．
求证：存在𝑛的正约数集的一个子集𝑇，使得𝑇中所有元素之和能被2022整除，但不能被2022^(2)整除．求所有函数𝑓:(0,+∞)→(0,+∞)，满足对任意𝑥,𝑦>0，都有
公式：f(y(f(x))^3+x)=x^3f(y)+f(x).考虑一个由𝑛^(2)个单元格组成但𝑛×𝑛网格，其中𝑛≥3为一个给定的正奇数．起初，Dionysus将每个每个单元格染成红、蓝二色之一．当且仅当两个单元格同色且至少有一个公共的顶点时，青蛙能从一个一个单元格跳到另一个单元格．然后Xanthias查看了染色情况，并且在网格的单元格中放置了𝑘只青蛙，使得这𝑛^(2)个单元格中的任意一个都可以被某只青蛙在有限次跳跃内（可能为零）到达．求𝑘的最小值，使得对于任意的染色方式，这都是可以达到的．
（译者注：Dionysus和Xanthias出自阿里斯托芬的《蛙》）
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