2022年意大利数学奥林匹克

1. 对于怎样的正整数𝑛，存在正整数𝐴满足以下条件：

• 𝐴能被2022整除；
• 𝐴的十进制形式只由数码0和7组成；
• 𝐴的十进制形式中恰有𝑛个7．

2. 锐角△𝐴𝐵𝐶满足𝐴𝐵<𝐴𝐶．

• 𝐷为∠𝐴的角平分线和𝐵𝐶的交点．
• 𝐸为线段𝐵𝐶上异于𝐵的一点，且满足𝐴𝐵=𝐴𝐸．
• 𝐹为线段𝐵𝐶上异于𝐵的一点，且满足𝐵𝐷=𝐷𝐹．
• 𝐺为线段𝐴𝐶上的一点，且满足𝐴𝐵=𝐴𝐺．

求证：△𝐸𝐹𝐺的外接圆和𝐴𝐶相切．

3. 一场数学竞赛有𝑛=10000位选手参赛．在最后的晚会上，按照顺序，第一位选手取走全部蛋糕的(1)/(𝑛)，第二位选手取走剩余蛋糕的(2)/(𝑛)，第三位选手取走剩余蛋糕的(3)/(𝑛)，如此进行到最后一个人，其取走剩余的所有蛋糕．
   问：哪位选手取走了最多的蛋糕？

4. Alberto选取2022个整数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(2022)（不必为正，也不必互异），并将它们放置在一个2022×2022的表格中，满足在单元格(𝑖,𝑗)中放入𝑎_(𝑘)，其中𝑘=max{𝑖,𝑗}．如下图所示（为可读性更强，用𝑎_(𝑛)代替𝑎_(2022)）．Barbara不知道Alberto选取了哪些整数，但知道Alberto的放置方式．给定正整数𝑘，1≤𝑘≤2022，Barbara想求出𝑎_(𝑘)的值（她对求出其余的𝑎_(𝑖)（𝑖≠𝑘）的值并不感兴趣）．为此，Barbara可以问Alberto一个或多个问题．在每个问题中，她可以问某个“路径”的单元格中的所有数字之和．其中“路径”为满足如下定义的单元格列表：

• 路径从左上角的单元格开始，到右下角的单元格结束；
• 路径中的单元格均不同；
• 路径中的两个连续单元格有公共边．
  在𝑘变化时，求Barbara求出𝑎_(𝑘)所需要的最少次数．

5. 机器人“Mag-o-matic“将101个玻璃杯排成一排，按位置从1到101进行编号．在每个玻璃杯中，有一个球或者没有球．Mag-o-matic只接受(𝑎;𝑏,𝑐)形式的基本指令，该指令的含义为：考虑𝑎位置的玻璃杯，如果其中有一个球，则交换𝑏位置和𝑐位置的两个玻璃杯（连同它们所包含的球）．
   （这意味着𝑎，𝑏，𝑐为1到101之间的数字，𝑏和𝑐不同，但可以和𝑎相同）．
   “程序”为一个有限的基本指令序列，在开始时将玻璃杯和小球放置完毕，然后Mag-o-matic逐一执行．
   称子集𝑆⊆{0,1,⋯,101}“可辨别的”，如果存在一个程序，对任意初始情形，执行该程序后到达最终情形中，位置1的玻璃杯中有一个球当且仅当包含球的玻璃杯数量为𝑆中的一个元素．
   (a)求证：若子集𝑆有奇数个元素，则其是”可辨别的“；
   (b)求所有“可辨别的”子集𝑆．

6. 设不等边三角形△𝐴𝐵𝐶的外接圆半径为𝑅，内心为𝐼，内切圆和边𝐶𝐴切于点𝐷，和边𝐶𝐵切于点𝐸．𝐴_(1)为直线𝐸𝐼上一点，满足𝐴_(1)𝐼=𝑅，且𝐼在𝐴_(1)和𝐸之间．𝐵_(1)为直线𝐷𝐼上一点，满足𝐵_(1)𝐼=𝑅，且𝐼在𝐵_(1)和𝐷之间．𝐴𝐴_(1)和𝐵𝐵_(1)交于点𝑃．
   (a)求证：𝑃在△𝐴𝐵𝐶的外接圆上．
   (b)已知𝐴𝐵=1，且𝑃和𝐶重合．求△𝐴𝐵𝐶周长的可能值．