2022年法语数学奥林匹克

初级组

1. 求所有正整数𝑛，使得⌊√(𝑛)⌋∣𝑛．

2. 在一个𝑛×𝑛的表格内，Aya想要将其中𝑘个格子染色，使得恰有唯一的方法在已染色的方格内放置𝑛枚棋子，并满足任意两个棋子不在同一行和同一列．求𝑘的最大值使得Aya能实现自己的想法．

3. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶的角平分线和𝐴𝐶的垂直平分线交于点𝐷．过点𝐵作𝐴𝐶的平行线和𝐴𝐷交于点𝑋．过点𝐵作𝐶𝑋的平行线和𝐴𝐶交于点𝑌．直线𝐵𝑋和△𝐴𝑌𝐵的外接圆再次相交于点𝐸．求证：𝐶，𝐷，𝐸三点共线．

4. 求最小的正整数𝑛，使得方程

   𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2)−𝑛𝑑^(2)=0

   有唯一解(0,0,0,0)．

高级组

1. 求所有函数𝑓：ℤ→ℤ，使得对任意𝑚，𝑛∈ℤ，都有公式：f(m+n)+f(m)f(n)=n^2(f(m)+1)+m^2(f(n)+1)+mn(2-mn)．

2. 为了连接到OFM站点，Alice必须选择一个密码．密码由如下27个字符中的𝑛个组成：

称一个密码𝑚是冗余的，如果能将密码中的连续若干个字符染成红色和蓝色，使得红色字符与蓝色字符相同．例如：密码H#ZBZJBJZ是冗余的，因为它包含ZBZJBJ字符段，其中ZBJ既出现在红色字符中，又出现在蓝色字符中．而密码ABCACB不是冗余的．
求证：对任意正整数𝑛，存在至少18^(𝑛)个非冗余的长度为𝑛的密码（即每个密码都由𝑛个字符组成）．

3. 设△𝐴𝐵𝐶的外接圆为Γ，Γ在点𝐴处的切线为Δ．圆Γ_(1)同时和直线Δ，𝐴𝐵，𝐵𝐶相切，且和直线𝐴𝐵切于点𝐸．圆Γ_(2)同时和直线Δ，𝐴𝐶，𝐵𝐶相切，且和直线𝐴𝐶切于点𝐹．设𝐸、𝐹分别在线段𝐴𝐵、𝐴𝐶上，两圆Γ_(1)、Γ_(2)均在△𝐴𝐵𝐶外．求证：𝐸𝐹∥𝐵𝐶．

4. 求所有的整数𝑎≥2，𝑏≥2，使得𝑎是偶数，且𝑎^(𝑏)+1的所有数码均相等．