2022 年德国数学奥林匹克(十二年级组)

第一天

1. 求所有实数𝑎，使得方程组

至少有一组实数解(𝑥,𝑦,𝑧)．

2. 在平面王国中，生活着热爱平面测量高于所有其它学科的人们．因此，他们将自己国家的土地看作是平坦的，每个城市都被看作一个几何点，每条道路都是连接两点的一条线段．
   除了现有城市外，还可以建造环形交叉路口，它们是道路网络中两条或多条道路的起点．所有道路的交叉处以及连接处都会建造环形交叉路口．这个道路网络将任意两个城市通过一系列道路和可能通过的环形交叉路口都连接了起来．在平面王国中，道路的长度为相应线段的几何长度．
   独具匠心的道路工程师Armin Asphalt提出了一个新的道路规划，据此可知，没有比该规划道路总长度更小的道路网络，也没有计划具有相同的道路总长度和更少的环岛．
   证明：在Armin Asphalt的规划中，从每个城市出发最多有三条道路，每个环岛处恰有三条道路．

3. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝑀和𝑁分别为𝐵𝐶和𝐴𝐶的中点．点𝑄在过点𝑁且平行于𝐵𝐶的直线上，且和点𝐶位于直线𝐴𝐵异侧，满足𝑄𝑁⋅𝐵𝐶=𝐴𝐵⋅𝐴𝐶．
   设△𝐴𝑄𝑁的外接圆和线段𝑀𝑁再次交于点𝑇（𝑇≠𝑁）．
   求证：存在一个过点𝑇和点𝑁的圆，同时和边𝐵𝐶、△𝐴𝐵𝐶的内切圆相切．

第二天

4. 求不定方程

的整数解(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑣,𝑤)．

5. 等边三角形△𝐴𝐵𝐶的外接圆为𝑘．在𝑘的劣弧𝐴𝐵上取一点𝐷，圆𝑞和圆𝑘外切于点𝐷．过𝐴，𝐵，𝐶三点分别作圆𝑞的切线，设切线长分别为𝑎，𝑏，𝑐．求证：𝑎+𝑏=𝑐．

6. 函数𝑓满足以下四个条件：
   (1)𝑓为从ℝ到ℝ的函数；
   (2)对任意实数𝑥，𝑦，都有𝑓(𝑥𝑦)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)；
   (3)对任意实数𝑥，𝑦，都有𝑓(𝑥+𝑦)≤2(𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦))；
   (4)𝑓(2)=4．
   求证：
   (1)存在满足条件的函数𝑓，使得𝑓(3)=9．
   (2)对任意满足条件的函数𝑓，都有𝑓(3)≤9．