代数数论综合赛题 2021-06-26 含解答

2021年德国数学奥林匹克解答

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 557 字公式 108 处4 图

试题见：2021德国数学奥林匹克中文翻译

求所有实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，使得𝑎，𝑏为2𝑥^(2)−3𝑐𝑥+8𝑑的两个互异根，且𝑐，𝑑为2𝑥^(2)−3𝑎𝑥+8𝑏的两个互异根．

展开解答收起解答

解由韦达定理知：𝑎+𝑏=(3𝑐)/(2)，𝑎𝑏=4𝑑，𝑐+𝑑=(3𝑎)/(2)，𝑐𝑑=4𝑏．

由𝑎𝑏=4𝑑和𝑐𝑑=4𝑏知𝑎𝑏𝑐𝑑=16𝑏𝑑．于是𝑏𝑑=0，或𝑎𝑐=16．

若𝑏𝑑=0，则𝑏=𝑑=0，此时有𝑎=(3𝑐)/(2)，𝑐=(3𝑎)/(2)，于是𝑎=𝑐=0，矛盾！于是𝑎𝑐=16．

于是𝑎+𝑏=(3𝑐)/(2)=(3⋅(16)/(𝑎))/(2)，即𝑎^(2)+𝑎𝑏=24；

(3𝑎)/(2)=𝑐+𝑑=(16)/(𝑎)+(𝑎𝑏)/(4)，即6𝑎^(2)=64+𝑎^(2)𝑏．

因此6𝑎^(2)=64+𝑎⋅(24−𝑎^(2))即𝑎^(3)+6𝑎^(2)−24𝑎−64=0，也即(𝑎+8)(𝑎+2)(𝑎−4)=0．

故满足题意的(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)为(−8,5,−2,10)或(−2,−10,−8,−5)或(4,2,4,2)．

凸四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃，𝑄，𝑅，𝑆分别在边𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐷，𝐷𝐴上．求证：以下两个命题等价：

∙存在四边形𝑃𝑄𝑅𝑆，𝑃，𝑄，𝑅，𝑆分别在线段𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐷，𝐷𝐴上，且不为顶点，使得周长最小．

∙𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四点共圆，且圆心在四边形内部．

证明见万宏老师的文章《【解题笔记】2021德国数学奥林匹克T2》

对给定的正整数𝑘∈[4,9]，设所有十进制下的含有数字1,2,⋯,𝑘各一个的𝑘位数组成的集合为𝑋_(𝑘)．求证：可以将𝑋_(𝑘)划分为两个互不相交的子集，使得这两个子集中所有元素的立方和相等．

证明见申强老师的文章《申强解一道德国数学奥林匹克题目》、《德国数学奥林匹克题目的后续思考》

已知△𝑂𝐹𝑇∼△𝑁𝑂𝑇，且为同向相似，四边形𝐹𝐴𝑁𝑃为平行四边形．求证：𝑂𝐹⋅𝑂𝑁=𝑂𝐴⋅𝑂𝑇．

展开解答收起解答

证明由题意知(𝑂𝑇)/(𝑇𝑁)=(𝑂𝐹)/(𝑂𝑁)=(𝑂𝐹)/(𝐹𝐴)．

又

公式：\begin{align*} \angle AFO=&180^{\circ}-\angle FON\\ =&180^{\circ}-\angle FOT-\angle TON\\ =&180^{\circ}-\angle ONT-\angle TON\\ =&\angle NTO \end{align*}

于是△𝐴𝐹𝑂∼△𝑁𝑇𝑂，故(𝑂𝐴)/(𝑂𝑁)=(𝑂𝐹)/(𝑂𝑇)，即𝑂𝐹⋅𝑂𝑁=𝑂𝐴⋅𝑂𝑇．重绘插图

(1)求最大的实数𝐴，使得对任意非负实数𝑥，𝑦，𝑧，都有公式：\dfrac{1+yz}{1+x^{2}}+\dfrac{1+zx}{1+y^{2}}+\dfrac{1+xy}{1+z^{2}}\geq A．

(2)对第一问所求的实数𝐴，求所有使得等号成立的三元非负实数组(𝑥,𝑦,𝑧)．

展开解答收起解答

解

(1)令𝑥=𝑦=0，𝑧→+∞，有𝐴≤2．

又不妨设𝑥≥𝑦≥𝑧，则

公式：\sum\limits\dfrac{1+xy}{1+z^{2}}>\dfrac{1+y^{2}}{1+z^{2}}+\dfrac{1+z^{2}}{1+y^{2}}\geq 2

故𝐴_(𝑚𝑎𝑥)=2．

(2)由(1)知，不存在使得等号成立的三元非负实数组(𝑥,𝑦,𝑧)．

注：第一问中的不等式，我的证法是暴力展开，但过程比较繁杂（如下），这里采用了龚固老师的证法，非常简单．

公式：\begin{aligned} &\dfrac{1+yz}{1+x^2}+\dfrac{1+zx}{1+y^2}+\dfrac{1+xy}{1+z^2}>2\\ \iff&\sum\limits_{cyc}(1+yz)(1+y^2)(1+z^2)> 2(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)\\ \iff&\sum\limits_{cyc}(1+y^2+z^2+yz+y^3z+yz^3+y^2z^2+y^3z^3)>2(1+x^2+y^2+z^2+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+x^2y^2z^2)\\ \iff&1+\sum\limits_{cyc}yz+\sum\limits_{sym}y^3z+\sum\limits_{cyc}y^3z^3> \sum\limits_{cyc}y^2z^2+2x^2y^2z^2\\ \iff&1+\sum\limits_{cyc}yz+\sum\limits_{cyc}yz(y-z)^{2}+\left(x^{3}y^{3}+y^{3}z^{3}+z^{3}x^{3}-3x^{2}y^{2}z^{2}\right)>0\\ \end{aligned}

显然成立．

是否存在无穷多个三元实数组(𝑢,𝑣,𝑤)，使得𝑢，𝑣，𝑤组成等差数列，且𝑢𝑣+1，𝑣𝑤+1和𝑤𝑢+1均为完全平方数．

展开解答收起解答

解由𝑢，𝑣，𝑤成等差数列，可令𝑢=2𝑠−𝑡，𝑣=2𝑠，𝑤=2𝑠+𝑡．于是有

公式：\left\{ \begin{aligned} &A^{2}=4s^{2}-2st+1=(s-t)^{2}+3s^{2}-t^{2}+1\\ &B^{2}=4s^{2}+2st+1=(s+t)^{2}+3s^{2}+t^{2}+1\\ &C^{2}=4s^{2}-t^{2}+1=s^{2}+3s^{2}-t^{2}+1\\ \end{aligned} \right.

令3𝑠^(2)−𝑡^(2)+1=0，则𝑢𝑣+1，𝑣𝑤+1和𝑤𝑢+1均为完全平方数．