代数
含解答
几个不等式的证明
正文文字 365 字公式 87 处
题目1 （2021年西班牙数学奥林匹克） 实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑满足
分析 最大值很容易得到，让四个数的绝对值均相等即可．最小值一定为负，故在𝑎，𝑏，𝑐，𝑑三正一负或一正三负时取得，而这两种情形本质是一样的，于是不妨设为三正一负，将负数用三个正数表示，可变为一个常见的三元条件不等式．
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解答 首先由“几何-平方平均值不等式”得：
公式：\sqrt[4]{|abcd|}\leq \sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}}=\sqrt{3}
即
公式：\left\{
\begin{align*}
&a+b+c+d=0\\
&a^2+b^2+c^2+d^2=12\\
&|a|=|b|=|c|=|d|\\
\end{align*}
\right.即𝑎，𝑏，𝑐，𝑑为√(3)，√(3)，−√(3)，−√(3)的任意排列时，等号成立．故最大值为9．
𝑎，𝑏，𝑐，𝑑中有偶数个负数时，𝑎𝑏𝑐𝑑的值为负数；有0时，𝑎𝑏𝑐𝑑的值为0；有三负一正时，将每一个数均改为其相反数，此时仍然满足题目条件，且𝑎𝑏𝑐𝑑的值不变．因此只需考虑三正一负的情形，不妨设𝑎,𝑏,𝑐>0，𝑑<0．
于是
公式：\begin{align*}
&3|abcd|\\
=&3abc(a+b+c)\\
=&3bc(a^2+ab+ac)\\
\leq&\left(\dfrac{3bc+a^2+ab+ac}{2}\right)^2\\
=&\left(\dfrac{2bc+(a+b)(a+c)}{2}\right)^2\\
\leq&\left(\dfrac{\dfrac{(b+c)^2}{2}+\dfrac{(a+b)^2+(a+c)^2}{2}}{2}\right)^2\\
=&\left(\dfrac{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}{4}\right)^2\\
=&9
\end{align*}即𝑎𝑏𝑐𝑑≥−3．
当且仅当𝑎，𝑏，𝑐，𝑑为1，1，1，−3或−1，−1，−1，3的任意排列时，等号成立．故最小值为−3．
题目2 （改编自第四届XMO第二题）实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑满足
公式：(abc)^3+(bcd)^3+(cda)^3+(dab)^3\leq 4．展开解答收起解答
分析 用𝑥，𝑦，𝑧，𝑤代替𝑎^(2)，𝑏^(2)，𝑐^(2)，𝑑^(2)后，本题变为：
题目2' 非负实数𝑥，𝑦，𝑧，𝑤满足
公式：(xyz)^{\frac{3}{2}}+(yzw)^{\frac{3}{2}}+(zwx)^{\frac{3}{2}}+(wxy)^{\frac{3}{2}}\leq 4．展开解答收起解答
证明 由均值不等式：
公式：\begin{align*}
&(xyz)^{\frac{3}{2}}\\
=&xyz\cdot\left(\sqrt[4]{x\cdot y\cdot z\cdot 1} \right)^2\\
\leq&xyz\cdot\left(\dfrac{x+y+z+1}{4}\right)^2\\
=&\dfrac{1}{16}xyz(5-w)^2
\end{align*}故只需证明：
而
公式：\begin{align*}
&\sum\limits_{cyc}xyz(5-w)^2\\
=&\sum\limits_{cyc}\left(xyzw^2-10xyzw+25xyz\right)\\
=&xyzw(x+y+z+w)-40xyzw+25\sum\limits_{cyc}xyz\\
=&-36xyzw+25\sum\limits_{cyc}xyz
\end{align*}接下来用调整法容易证明，上式在𝑥=𝑦=𝑧=𝑤=1时取得最大值64．在此略去．
类似地可以推广为𝑛元形式：
题目3 实数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)满足
公式：\sum\limits_{i=1}^n \left(\prod\limits_{j=i}^{i+n-2}a_i\right)^3\leq n．展开解答收起解答
证明方法同上．
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