一道三角不等式的若干解法

证明 令𝑆_(𝑘)=∑_(𝑖=1)^(𝑘)𝑎_(𝑖)−∑_(𝑖=1)^(𝑘)𝑏_(𝑖)，则𝑆_(1),⋯,𝑆_(𝑛−1)≥0，𝑆_(𝑛)=0．

由Abel变换得

公式：\begin{aligned} &\sum\limits_{i=1}^n(f(a_i)-f(b_i))\\ =&\sum\limits_{i=1}^n(a_i-b_i)\dfrac{f(a_i)-f(b_i)}{a_i-b_i}\\ =& \sum\limits_{i=1}^{n-1}S_i\left(\dfrac{f(a_i)-f(b_i)}{a_i-b_i}-\dfrac{f(a_{i+1})-f(b_{i+1})}{a_{i+1}-b{i+1}}\right)+S_n\dfrac{f(a_n)-f(b_n)}{a_n-b_n}\\ \geq&0 \end{aligned}

其中由下凸函数的性质：

公式：\dfrac{f(a_i)-f(b_i)}{a_i-b_i}\geq\dfrac{f(a_{i+1})-f(b_i)}{a_{i+1}-b_i}\geq\dfrac{f(a_{i+1})-f(b_{i+1})}{a_{i+1}-b_{i+1}}

回到原题，我们有如下方法．

方法一

不妨设𝐴≥𝐵≥𝐶，易知

且𝑓(𝑥)=sin𝑥在(0,𝜋)上为上凸函数．

由Karamata不等式：

公式：\sin\dfrac{\pi}{2}+\sin\dfrac{\pi}{2}+\sin 0\leq \sin A+\sin B+\sin C

注意到上式无法取得等号．于是有

虽然方法一直击本质，但我还是希望有一种简洁的三角证明方法．在将Karamata不等式的证明过程套用过来后，我们有了方法二．

方法二

由𝐴+𝐵>(𝜋)/(2)知(𝜋)/(2)−𝐴<𝐵，于是

同理有sin𝐵>cos𝐴． 于是

公式：\begin{aligned} &\sin A+\sin B+\sin C-2\\ =&\sin A+\sin B+\sin C-(\sin^2A+\cos^2A)-(\sin^2B+\cos^2B)\\ =&\sin A(1-\sin A)+\sin B(1-\sin B)+\cos B(\sin A-\cos B)+\cos A(\sin B-\cos A)\\ >&0 \end{aligned}

方法三由郑志远同学提供，其中将非钝角三角形这一条件转化为|𝐵−𝐶|≤𝐴十分巧妙．

方法三

由△𝐴𝐵𝐶为非钝角三角形知|𝐵−𝐶|≤𝐴． 于是

公式：\begin{aligned} &\sin A+\sin B+\sin C\\ =&\sin A+2\sin\dfrac{B+C}{2}\cos\dfrac{B-C}{2}\\ =&\sin A+2\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B-C}{2}\\ \geq&\sin A+2\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}\\ =&\sin A+\cos A+1\\ =&\sqrt{2}\sin(A+\dfrac{\pi}{4})+1\\ >&2 \end{aligned}

接下来还是我最喜欢的代数不等式环节．

方法四

令𝑥=tan(𝐴)/(2)，𝑦=tan(𝐵)/(2)，𝑧=tan(𝐶)/(2)，则𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥=1，𝑥,𝑦,𝑧∈(0,1]．

由万能公式

公式：\begin{aligned} \sin A=&\dfrac{2\tan\dfrac{A}{2}}{1+\tan^2\dfrac{A}{2}}\\ =&\dfrac{2x}{1+x^2}\\ =&\dfrac{2x}{xy+yz+zx+x^2}\\ =&\dfrac{2x}{(x+y)(x+z)} \end{aligned}

同理

公式：\sin B=\dfrac{2y}{(y+z)(y+x)},\sin C=\dfrac{2z}{(z+x)(z+y)}

去分母之后，只需证明

公式：x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)>(x+y)(y+z)(z+x)\text{．}

注意到

公式：\begin{aligned} &x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)\\ =&2(xy+yz+zx)\\ =&2 \end{aligned}

以及

公式：\begin{aligned} &(x+y)(y+z)(z+x)\\ =&(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz\\ =&x+y+z-xyz \end{aligned}

即要证明

由𝑥,𝑦,𝑧∈(0,1]可得

公式：\begin{aligned} &(1-x)(1-y)(1-z)\geq 0\\ \iff&1-(x+y+z)+(xy+zy+zx)-xyz\geq 0\\ \iff&x+y+z+xyz\leq 1+xy+yz+zx=2 \end{aligned}

而

公式：x+y+z-xyz< x+y+z+xyz\leq 2

最后给出这个三角不等式的几何意义．

方法五

由△𝐴𝐵𝐶是非钝角三角形知其外心𝑂在三角形内部（包含边界）．

记𝐵𝐶，𝐶𝐴，𝐴𝐵的中点分别为𝐷，𝐸，𝐹，外接圆半径为𝑅．则

公式：\begin{aligned} &\sin A+\sin B+\sin C>2\\ \iff&R\sin A+R\sin B+R\sin C> 2R\\ \iff&FE+EC+BF> BO+OC \end{aligned}

这是一个简单的几何不等式，证明略．