9-8恒等式与不等式

在一道三角不等式的若干解法一文中，我们用到了

公式：\begin{aligned} &(x+y+z)(xy+yz+zx)\\ =&(x+y)(y+z)(z+x)+xyz \end{aligned}

这一恒等式，在某些地方，这个恒等式被称之为“9-8恒等式”（两个乘积式展开后各有九项和八项）．其揭示了𝑥+𝑦+𝑧，𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥，𝑥𝑦𝑧这三个关于𝑥，𝑦，𝑧的三元对称式的基本对称式与∏_(𝑐𝑦𝑐)(𝑥+𝑦)之间的联系．

此外，结合均值不等式，我们可以得到

公式：\begin{aligned} &9(x+y)(y+z)(z+x)\\ =&9(x+y+z)(xy+yz+zx)-9xyz\\ \geq&8(x+y+z)(xy+yz+zx) \end{aligned}

这就是“9-8不等式”．

注 事实上，2016年初中数学联赛二试第三题第2问就是“9-8不等式”的证明．

“9-8恒等式”与“9-8不等式”在三元对称不等式中往往应用非常广泛，下面举几个例子进行说明．

例1 𝑎，𝑏，𝑐为正数，求证：

公式：\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{16(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}>8

证明 先假定𝑎，𝑏，𝑐为非负实数（至多一个为0）．则

公式：\begin{aligned} &\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\\ =&\dfrac{\sum\limits a(a+b)(a+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\\ =&\dfrac{\sum\limits(a^3+a^2b+a^2c+abc)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\\ \geq&\dfrac{\sum\limits(a^3+a^2b+a^2c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\\ =&\dfrac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \end{aligned}

公式：\begin{aligned} &\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\\ =&\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}\\ =&\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)+abc}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}\\ \geq&\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)} \end{aligned}

由均值不等式，并注意到𝑎𝑏𝑐≠0即证．

例2 设𝑎，𝑏，𝑐为正实数，证明：

公式：\sum\limits_{cyc}\dfrac{1}{(a+2b+c)^2}\leq \dfrac{9}{16(ab+bc+ca)}

证明 由均值不等式：

公式：\begin{aligned} &\sum\limits_{cyc}\dfrac{1}{(a+2b+c)^2}\\ =&\sum\limits_{cyc}\dfrac{1}{[(a+b)+(b+c)]^2}\\ \leq&\sum\limits_{cyc}\dfrac{1}{4(a+b)(b+c)}\\ =&\dfrac{a+b+c}{2(a+b)(b+c)(c+a)} \end{aligned}

由“9-8不等式”：

公式：\dfrac{a+b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq\dfrac{9}{8(ab+bc+ca)}

代入原不等式即证．

例3 正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎𝑏𝑐=1．求证：

证明 将待证不等式两边同时乘以2可变为：

公式：\dfrac{x+y}{xy}+\dfrac{y+z}{yz}+\dfrac{z+x}{zx}+\dfrac{6}{x+y+z}\geq 8

由均值不等式：

公式：\begin{aligned} &\dfrac{x+y}{xy}+\dfrac{y+z}{yz}+\dfrac{z+x}{zx}+\dfrac{6}{x+y+z}\\ \geq&4\sqrt[4]{\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{x^2y^2z^2(x+y+z)}}\\ =&4\sqrt[4]{\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{x+y+z}} \end{aligned}

故只需证明：

公式：4\sqrt[4]{\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{x+y+z}}\geq 8

即

公式：(x+y)(y+z)(z+x)\geq\dfrac{8}{3}(x+y+z)

由“9-8不等式”：

公式：\begin{aligned} &(x+y)(y+z)(z+x)\\ \geq&\dfrac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)\\ \geq&\dfrac{8}{9}(x+y+z)\cdot 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\\ =&\dfrac{8}{3}(x+y+z) \end{aligned}

证毕．