国家集训队一道数论型函数方程的解答

解答

令𝑛=2，得对于𝑚≥2，𝑓(4𝑚)=4𝑓(𝑚)．

令𝑛=4，得对于𝑚≥4，𝑓(32𝑚)=32𝑓(𝑚)．

于是对于𝑚≥4，有

公式：32f(m)=f(32m)=4f(8m)=16f(2m)

即𝑓(2𝑚)=2𝑓(𝑚)．

又2𝑓(4)=𝑓(8)=4𝑓(2)，即𝑓(4)=2𝑓(2)．

2𝑓(6)=𝑓(12)=4𝑓(3)，即𝑓(6)=2𝑓(3)．

因此对于𝑚≥2，有𝑓(2𝑚)=2𝑓(𝑚)．

更一般地，我们可以证明：

𝑝为任意素数，对于𝑚≥𝑝^(2)，都有

用数学归纳法证明，𝑝=2时已证．

假设结论对所有小于𝑝的素数均成立，考虑𝑝时的情形．

令𝑛=𝑝，得对于𝑚≥𝑝，

公式：f(p^2(p-1)m)=p^2(p-1)f(m)

令𝑛=𝑝^(2)，得对于𝑚≥𝑝^(2)，

公式：f(p^5(p-1)m)=p^5(p-1)f(m)

于是对于𝑚≥𝑝^(2)，有

公式：\begin{aligned} p^5(p-1)f(m)=&f(p^5(p-1)m)\\ =&f(p^2(p-1)\cdot p^3m)\\ =&p^2(p-1)f(p^3m) \end{aligned}

即𝑓(𝑝^(3)𝑚)=𝑝^(3)𝑓(𝑚)．

令𝑚=𝑚^(′)𝑝，𝑛=𝑝，有

公式：\begin{aligned} f(p^3(p-1)m')=&p^3f((p-1)m')\\ =&p^2(p-1)f(pm') \end{aligned}

注意到𝑝−1为合数，其必有一个素因子𝑞，满足𝑝−1≥𝑞^(2)．可以使用𝑞时的结论，将素因子𝑞从𝑓的括号内拿出来，重复以上操作，即可证明：

于是有𝑓(𝑝𝑚^(′))=𝑝𝑓(𝑚^(′))．

由上可知，对于任意素数𝑝，当𝑚≥𝑝^(2)时，有𝑓(𝑝𝑚)=𝑝𝑓(𝑚)．下面将𝑚≥𝑝^(2)这一限定范围缩小，从而求出𝑓．

取充分大的𝑀，使得2^(𝑀)𝑚≥𝑝^(2)，又𝑝𝑚≥2×2=2^(2)，于是

公式：\begin{aligned} &p\cdot 2^Mf(m)\\ =&p\cdot 2^{M-1}f(2m)=\cdots=p\cdot f(2^Mm)\\ =&f(p\cdot 2^Mm)\\ =&2f(p\cdot 2^{M-1}m)=\cdots=2^Mf(pm) \end{aligned}

即𝑓(𝑝𝑚)=𝑝𝑓(𝑚)对于𝑚≥2恒成立．

对于任意素数𝑝，𝑞，由

知(𝑓(𝑝))/(𝑝)为定值，设为𝑐．

对于任意的𝑛≥2，设𝑛=∏_(𝑖=1)^(𝑘)𝑝𝛼_(𝑖)𝑖．

于是𝑓(𝑛)=(𝑛)/(𝑝_(1))𝑓(𝑝_(1))=𝑐𝑛．

特别地，𝑓(1)为任意正整数时均无法导出矛盾（这是由于要想由条件得到𝑓(1)，只能令𝑚=𝑛=1，从而得到𝑓(1)=𝑓(1)）．

综上

其中𝑎，𝑐均为正整数．