ac-bd=(a+b)c-(c+d)b

以下为证明Farley级数性质的过程中，一个重要的结论．

设𝑎、𝑏、𝑐、𝑑、𝑒、𝑓都是正整数，且(𝑎)/(𝑏)>(𝑐)/(𝑑)>(𝑒)/(𝑓)，𝑎𝑓−𝑏𝑒=1．求证：𝑑≥𝑏+𝑓．

证明： 由(𝑎)/(𝑏)>(𝑐)/(𝑑)知𝑎𝑑−𝑏𝑐>0，又由于𝑎𝑑−𝑏𝑐为整数，故𝑎𝑑−𝑏𝑐≥1．

同理𝑐𝑓−𝑏𝑒≥1．于是

公式：\begin{aligned} d=&d(af-be)\\ =&b(cf-de)+f(ad-bc)\\ \ge&b+f \end{aligned}

注：

上面的式子中，从第一行到第二行的添项，即为张益唐教授在昨天（2022年11月8日）演讲中，所提到的𝑎𝑐−𝑏𝑑=(𝑎+𝑏)𝑐−(𝑐+𝑑)𝑏．