2022年葡语国家数学奥林匹克

第一天

1. 方程组

公式：\begin{cases}a^4-b^4=c\\b^4-c^4=a\\c^4-a^4=b\end{cases}

有多少组实数解(𝑎,𝑏,𝑐)？

2. Anselmo和Claudio在一个装有水果的盒子里玩游戏．盒子里开始有32个水果，从Anselmo开始，两人轮流从盒子里拿出水果．每次能拿出1、2、3个水果，或拿走盒子中剩余水果的(2)/(3)（只有盒子中所剩水果数为3的倍数时才可以选择）．拿走最后一个水果的人获胜．问：谁有必胜策略？要怎样才能保证获胜？

3. 正整数𝑥和𝑦满足𝑥^(2022)+𝑥+𝑦^(2)能被𝑥𝑦整除．
   (a)求出一组满足题意的整数𝑥和𝑦，且满足𝑥>𝑦．
   (b)证明：𝑥为完全平方数．

第二天

4. 方程

公式：x+4y-343\sqrt{x}-686\sqrt{y}+4\sqrt{xy}+2022=0

有多少组整数解？

5. 半径分别为𝑅_(1)、𝑅_(2)的两个圆外切．此外，它们都内切于一个半径为1的半圆．（如图所示）
   
   (a)设两圆和半圆的直径切于𝐴_(1)、𝐴_(2)两点，求|𝐴_(1)𝐴_(2)|．
   (b)求证：公式：R_{1}+R_{2}=2\sqrt{R_{1}R_{2}}(\sqrt{2}-\sqrt{R_{1}R_{2}})．

6. 一串项链上有2024颗珍珠，每颗均为黑、绿、黄三色之一．每个时刻，按照如下规则改变每颗珍珠的颜色：
   (1)如果某颗珍珠边上的两颗珍珠颜色相同，则它的颜色变为这种相同的颜色；
   (2)如果某颗珍珠边上的两颗珍珠颜色不同，则它的颜色变为与它们均不同的第三种颜色．
   (a)如果起初一半的珍珠是黑色的，另一半是绿色的，是否存在某种颜色分布情况，使得最后所有珍珠都变为黄色？
   (b)如果起初998颗珍珠是黑色的，其余1026颗是绿色的，是否存在某种颜色分布情况，使得最后所有珍珠都变为黄色？