2022年波罗的海之路数学竞赛

函数𝑓：ℝ^(+)→ℝ^(+)满足对任意𝑥∈ℝ^(+)，都有𝑓(𝑥^(3))=𝑓(𝑥)^(3)，𝑓(2𝑥)=𝑓(𝑥)．求𝑓(√(2,2022))的所有可能值．

自然数列{𝑎_(𝑛)}满足𝑎_(0)=𝑎_(1)=𝑎_(2)=1，且对任意𝑛≥3，𝑎_(𝑛)=⌊(𝑛)/(𝑎_(𝑛−1)𝑎_(𝑛−2)𝑎_(𝑛−3))⌋．求𝑎_(2022)的值．

称二元多项式𝑃(𝑥,𝑦)是“秘密单变量”的，如果存在多项式𝑄(𝑥)和𝑅(𝑥,𝑦)，满足deg(𝑄)≥2，𝑃(𝑥,𝑦)=𝑄(𝑅(𝑥,𝑦))（例如：𝑥^(2)+1和𝑥^(2)𝑦^(2)+1都是“秘密单变量”的，而𝑥𝑦+1不是）．
证明或证否以下结论：若多项式𝑃(𝑥,𝑦)满足𝑃(𝑥,𝑦)和𝑃(𝑥,𝑦)+1均能写为两个非常数多项式之积，则𝑃为“秘密单变量”的．
注：本题中所有多项式均为实系数多项式．

正实数𝑥，𝑦，𝑧满足𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥=1．求证：

公式：2(x^2+y^2+z^2)+\dfrac{4}{3}\left(\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}+\dfrac{1}{z^2+1}\right)\ge 5.

求所有函数𝑓：ℝ→ℝ，满足𝑓(0)+1=𝑓(1)，且对任意实数𝑥和𝑦，都有

公式：f(xy-x)+f(x+f(y))=yf(x)+3.

Mattis正在举办一场有40名球员参加的羽毛球比赛，有20个球场，编号从1到20，每个球场有2名球员．在每一轮比赛中，每个球场都会决出一个赢家．之后，在1号球场输掉比赛的选手和在20号球场赢的选手保持原位．对于剩下的38名选手，𝑖号球场的胜者移到𝑖+1号球场，败者移到𝑖−1号球场．然后进行下一轮比赛，直到每个选手至少与其他选手交手一次．至少要持续多少轮比赛？

作家Arthur有𝑛≥1个与他一起写书的合著者．每本书都有一个包括Arthur本人在内的作者名单，没有两本书的作者是完全相同的．在一次与所有合著者的聚会上，每个合著者都在纸条上写下了他们所记得的与Arthur一起写过的书的数量．检查纸条上的数字，他们发现写下的数字是前𝑛个斐波那契数（由𝐹_(1)=𝐹_(2)=1和𝐹_(𝑘+2)=𝐹_(𝑘+1)+𝐹_(𝑘)定义）．求所有的正整数𝑛，使得存在所有合著者写下的数字均是无误的可能．

对正整数𝑛≥3，在一个不自交的𝑛边形（不一定是凸的）中作𝑛−3条内对角线，将这个𝑛边形分割成𝑛−2个三角形．已知这些三角形所有内角的度数均为整数（单位为∘），且任意两个内角度数均不相等．求𝑛的最大可能值．

五位长老正围坐在一个大篝火旁．他们知道Oluf会把四种颜色（红、绿、蓝、黄）中的一种帽子戴在每个长老的头上，经过短暂的沉默思考后，每个长老必须在一张纸上写下这四种颜色中的一种．每位长者只能看到他们两个邻居的帽子的颜色，不能看到自己帽子的颜色，也不能看到其余两位长者的帽子的颜色，而且在Oluf开始戴上帽子后，他们也不能交流．
证明：长老们可以提前设计一个策略，使最多两个长老最终写下自己帽子的颜色．

称自然数𝑎包含在自然数𝑏中，如果可以通过擦除𝑏中的一些数字（在它们的十进制表示中）来获得𝑎．例如，123包含在901523中，但不包含在3412中．
是否存在一个无限大的自然数集合，使该集合中的任何数字都不包含在该集合的任何其他数字中？

设△𝐴𝐵𝐶的外接圆为Γ，外心为𝑂．以直线𝐴𝐵上一点为圆心，且过点𝐴、𝑂的圆和Γ的另一个交点为𝐷．以直线𝐴𝐶上一点为圆心，且过点𝐴、𝑂的圆和Γ的另一个交点为𝐸．求证：𝐵𝐷平行于𝐶𝐸．

锐角△𝐴𝐵𝐶的三条高为𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐹（𝐷、𝐸、𝐹分别在边𝐵𝐶、𝐶𝐴、𝐴𝐵上）．𝑄为线段𝐴𝐷内部一点，设△𝑄𝐷𝐹和△𝑄𝐷𝐸的外接圆和𝐵𝐶的另一个交点分别为𝑋和𝑌．求证：𝐵𝑋=𝐶𝑌．

𝐴𝐵𝐶𝐷为圆内接四边形，𝐴𝐵<𝐵𝐶，𝐴𝐷<𝐷𝐶．𝐸、𝐹分别为边𝐵𝐶、𝐶𝐷上点，满足𝐴𝐵=𝐵𝐸，𝐴𝐷=𝐷𝐹．记𝐸𝐹的中点为𝑀，求证：∠𝐵𝑀𝐷=90^(∘)．

设锐角△𝐴𝐵𝐶的外接圆为Γ，外心为𝑂，𝐵𝐶中点为𝑀．设𝐴𝑀和Γ的另一个交点为𝑇，过𝐴作𝐵𝐶的垂线与Γ的另一个交点为𝐷．设𝐷𝑇和𝐵𝐶交于点𝑋，𝑃为△𝑋𝐷𝑀的外心．求证：△𝑂𝑃𝐷的外接圆过𝑋𝐷的中点．

𝐵≠𝐶为圆Ω上的两个定点．对于Ω上第三个点𝐴，设𝐵在𝐴𝐶上的射影为𝑋，𝐶在𝐴𝐵上的射影为𝑌．求证：存在圆Γ，使得不依赖于𝐴在Ω上的位置，始终有𝑋𝑌和Γ相切．

求所有函数𝑓：ℤ^(+)→ℤ^(+)，使得对于任意𝑎，𝑏∈ℤ^(+)，都有

设𝑛为正整数，满足𝑛的所有正约数之和不小于2022𝑛．求证：𝑛至少有2022个不同的素因子．

求所有正整数对(𝑎,𝑏)，满足𝑎≤𝑏，且对任意正整数𝑥，都有

公式：\gcd(x,a)\gcd(x,b)=\gcd(x,20)\gcd(x,22).

求所有三元非负整数组(𝑥,𝑦,𝑧)，使得

Ingrid和Erik正在玩一个游戏．对于一个给定的奇素数𝑝，在黑板上写有数字1，2，3，⋯，𝑝−1．两人轮流执行操作，由Ingrid开始．在每次操作中，由其中一个玩家擦去黑板上一个剩余的数字，如果操作后所有被擦去的数字之积模𝑝的余数为1，那么本次操作的一方就可以得到1分，否则就得0分．在所有数字都被擦去后，游戏结束．
在游戏结束时，得到最多分数的一方获胜．如果双方得分相同，游戏以平局结束．对于每个𝑃，确定哪个玩家（如果有的话）有获胜的策略．