2022年巴西数学奥林匹克

第一天

1. 一个单人游戏的规则如下：起初，有10堆石子，每堆各有1,2,⋯,10枚石子．每次进行以下操作之一：
   (i)选择两堆石子数不少于2的石子，将它们合并，并在新石堆中再放入2枚石子；
   (ii)选择一堆石子数不少于4的石子，从里面取出2枚石子，再将它分成两堆，每堆的石子数由玩家决定．
   当无法执行任何操作时，游戏结束．证明：不论之前怎么执行操作，在游戏结束时，总有两堆石子数量相同．

2. 在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵<𝐴𝐶．设𝐾为外接圆上弧𝐵𝐶（不含点𝐴）的中点，𝑃为边𝐵𝐶的中点．𝐼_(𝐵)、𝐼_(𝐶)分别为△𝐴𝐵𝐶的𝐵所对的旁心、𝐶所对的旁心．点𝑄为𝐾关于𝐴的对称点．求证：𝑃、𝑄、𝐼_(𝐵)、𝐼_(𝐶)四点共圆．

3. 设{𝑎_(𝑛)}∞𝑛=0为整数列．对任意非负整数𝑛，记Δ^(1)𝑎_(𝑛)=𝑎_(𝑛+1)−𝑎_(𝑛)，Δ^(𝑀)𝑎_(𝑛)=Δ^(𝑀−1)𝑎_(𝑛+1)−Δ^(𝑀−1)𝑎_(𝑛)．称数列是”爱国“的，若存在正整数𝑘、𝑙，使得对任意非负整数𝑛，都有𝑎_(𝑛+𝑘)=Δ^(𝑀)𝑎_(𝑛+𝑙)．确定并证明：是否存在一个数列，满足使该数列为“爱国”的𝑀的最大值为2022．

第二天

4. 起初，黑板上写有一个自然数𝑛．每一分钟，内马尔选取𝑛的一个约数𝑑（𝑑>1），擦去𝑛，然后写上𝑛+𝑑．如果开始黑板上的数为2022，那么内马尔永远无法在黑板上写出的最大合数是多少？

5. 设𝑛为一个正整数．定义𝑆(𝑛)为满足如下条件的最小正整数：𝑆(𝑛)≡𝑛(mod2)，𝑆(𝑛)≥𝑛，并且不存在正整数𝑘,𝑥_(1),𝑥_(2),...,𝑥_(𝑘)使得𝑛=𝑥_(1)+𝑥_(2)+...+𝑥_(𝑘)且𝑆(𝑛)=𝑥21+𝑥22+...+𝑥2𝑘．证明：存在一个实常数𝑐>0和一个正整数𝑛_(0)，使得对于所有𝑛≥𝑛_(0)，都有𝑆(𝑛)≥𝑐𝑛^((3)/(2))．

6. 10×10方格网中的一些单元格被涂成了蓝色．称一组六个单元格为“天才”的，如果它们是三行两列或两行三列的交集，并被全涂成蓝色．确定𝑛的最大值，使得有可能方格网中的𝑛格涂成蓝色，而不存在一个“天才”集．