2023年英国数学奥林匹克（第一轮）——视频解答

1. 一条路上有编号为1~𝑛的房子，其中𝑛为三位数．其中恰有(1)/(𝑘)个编号首位为2，𝑘为正整数．求𝑛的所有可能值．

2. 正整数列{𝑎_(𝑛)}满足𝑎_(1)=𝑎，𝑎_(2)=𝑏．且对所有正整数𝑛，都有𝑎_(2𝑛+1)=𝑎_(2𝑛)𝑎_(2𝑛−1)，𝑎_(2𝑛+2)=𝑎_(2𝑛+1)+4．设在𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(2022)中共有𝑚个完全平方数，求𝑚的最大可能值．

3. 在非等腰的锐角三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶、𝐴𝐵的中点分别为点𝐵_(1)、𝐶_(1)．点𝐷在直线𝐵𝐶上，且满足𝐶在𝐵、𝐷之间．点𝐹满足∠𝐴𝐹𝐶是直角，且∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐹𝐶𝐴．点𝐺满足∠𝐴𝐺𝐵是直角，且∠𝐶𝐵𝐺=∠𝐺𝐵𝐴．求证：𝐵_(1)，𝐶_(1)，𝐹，𝐺四点共线．

4. Alex和Katy在一个由64个单元格组成的8×8正方形网格上玩游戏．两人轮流行动，从Alex开始．在Alex的回合，他在一个空格中写下“A”；在Katy的回合，她在两个边相邻的空格中各写下一个“K”．当一方无法继续时，游戏结束．Katy的得分为游戏结束时网格中K的个数．求Katy保证能得到的最高分数．

5. 对任意整数𝑛≥1，考虑一个从1开始到𝑛结束，以互不相同的正整数组成的数列，满足除最后一项外，每一项均整除其后一项，设这样的数列共有𝑓(𝑛)个．求证：对任意整数𝑁≥1，存在整数𝑛≥1，使得𝑁整除𝑓(𝑛)．（例如：𝑓(1)=1，𝑓(2)=1，𝑓(6)=3．）

6. 圆Γ的半径为1．直线𝑙到Γ圆心的距离在0到2之间．青蛙在Γ上选取一个到𝑙距离小于1的点，并坐在该点上．然后青蛙在圆和直线上来回跳跃，每一跳的距离为1．如果从Γ起跳，则必落在𝑙上，反之亦然．求证：有限次跳跃后，青蛙能回到初始点．

点击链接观看视频解答：https://bmos.ukmt.org.uk/solutions/bmo1-2023/