2022年英国数学奥林匹克（第二轮）

英国数学奥林匹克（British Mathematical Olympiad，简称BMO）是英国的数学竞赛，英国国际数学奥林匹克代表队选拔过程的一部分。比赛分两轮，称为BMO1和BMO2。

第一轮一般在每年12月举行，第二轮在次年的一月底或二月初举行。两轮的考试时间均为3.5小时，第一轮共6题，第二轮共4题。

今年第一轮的试题翻译见：2021-2022年英国数学奥林匹克（第一轮）——中文翻译。

1. 对给定的正整数𝑘，如果整数𝑛同时满足如下两个条件，则称𝑛为𝑘-数：

• 𝑛能表示为两个相差𝑘的整数之积；
• 𝑛恰比某个完全平方数小𝑘． 求所有整数𝑘，使得存在无穷多个𝑘-数．

2. 求所有函数𝑓：ℕ_(+)→ℕ_(+)，使得对任意正整数𝑥，𝑦，均有

   公式：2yf(f(x^2)+x)=f(x+1)f(2xy)
3. 将𝑛副完全相同的牌组放入一些盒子中，每副牌组包含50张牌，标记为1到50．每个盒子中最多能放2022张牌．如果一堆盒子中所包含的每种标记的牌总数相同，则称这堆盒子是规则的．证明：存在正整数𝑁，对任意𝑛≥𝑁，都可以将所有盒子分成两个非空的规则堆．
4. 设锐角三角形△𝐴𝐵𝐶的外接圆为Γ．过𝐵、𝐶分别作𝐵𝐶的垂线𝑙_(𝐵)、𝑙_(𝐶)．点𝑇在劣弧𝐵𝐶上，过点𝑇作Γ的切线和𝑙_(𝐵)、𝑙_(𝐶)分别交于点𝑃_(𝐵)和点𝑃_(𝐶)．过点𝑃_(𝐵)作𝐴𝐶的垂线，过点𝑃_(𝐶)作𝐴𝐵的垂线，两垂线交于点𝑄．若点𝑄在𝐵𝐶上，求证：𝐴𝑇过点𝑄．