2022年基辅市数学奥林匹克（第二轮）

相关链接：2022年基辅市数学奥林匹克（第一轮）——中文翻译

七年级组

1. (1)是否存在正整数𝑎和𝑑，使得[𝑎,𝑎+𝑑]=[𝑎,𝑎+2𝑑]？
   (2)是否存在正整数𝑎和𝑑，使得[𝑎,𝑎+𝑑]=[𝑎,𝑎+4𝑑]？
   这里[𝑎,𝑏]表示𝑎和𝑏的最小公倍数．
2. 𝑂点处有一个中央火车站，通过轨道连接到其它火车站𝐴_(1)，𝐴_(2)，⋯，𝐴_(8)，且长度均为2．对任意𝑖=1到8，𝐴_(𝑖)和𝐴_(𝑖+1)之间也有轨道连接（这里𝐴_(9)=𝐴_(1)），且长度均为1．
   8列火车𝐵_(1)，𝐵_(2)，⋯，𝐵_(8)，速度分别为1，2，⋯，8．火车只能在上述轨道上双向运行，且转向不耗费时间．如果两列或多列火车在某个时间点相遇，之后它们将和其中速度最快的火车以相同速度一起行驶．
   是否能将火车放置在车展𝐴_(1)，𝐴_(2)，⋯，𝐴_(8)（每个车站一列火车），并安排它们的行驶路线，使得所有火车能在𝑡<(1)/(2)的时间内到达中央火车站𝑂？
3. 在△𝐴𝐵𝐶中，中线𝐵𝑀的长度为𝐵𝐶边长度的一半．求证：∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐵𝐶𝐴+∠𝐵𝐴𝐶．
4. Fedir和Mykhailo有三堆石子：第一堆有100块，第二堆有101块，第三堆有102块．他们进行一个游戏，两人轮流行动，从Fedir开始．在每一次行动中，玩家可以任意选择两堆石子，若它们的剩余石子数分别为𝑎和𝑏，则从每一堆中取出(𝑎,𝑏)枚石子．将某一堆石子全部取完者获胜，问谁有必胜策略？
   这里(𝑎,𝑏)表示𝑎和𝑏的最大公约数．

八年级组

1. 求所有三元数组(𝑎,𝑏,𝑐)，使得

   𝑎+[𝑎,𝑏]=𝑏+[𝑏,𝑐]=𝑐+[𝑐,𝑎]

   这里[𝑎,𝑏]表示𝑎和𝑏的最小公倍数．
2. 给定整数𝑛，𝑘，Monica和Bogdan进行一个游戏．首先，Monica写下𝑘个正数，如果Bogdan能在平面上找到具有如下性质的𝑛个点，则𝐵𝑜𝑔𝑑𝑎𝑛获胜：对于Monica写下的任意数字𝑚，存在Bogdan选择的两个点，其距离恰好为𝑚．否则Monica获胜．
   根据𝑛，𝑘的取值确定谁有必胜策略．
3. 非零实数𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛)满足以下条件：

   公式：x_1-\frac{1}{x_2}=x_2-\frac{1}{x_3}=\cdots=x_{n-1}-\frac{1}{x_n}=x_n-\frac{1}{x_1}

   求所有的𝑛，使得𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛)必须全部相等．
4. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90^(∘)，点𝐷，𝐸，𝐹分别在边𝐵𝐶，𝐶𝐴，𝐴𝐵上，且满足∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐶𝐵𝐸，∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐴𝐸𝐹．求证：𝐷𝐵=𝐷𝐹．

九年级组

1. 求所有三元数组(𝑎,𝑏,𝑐)，使得

   𝑎+(𝑎,𝑏)=𝑏+(𝑏,𝑐)=𝑐+(𝑐,𝑎)

   这里(𝑎,𝑏)表示𝑎和𝑏的最大公约数．
2. 2022个点排列在一个圆周上，其中一个为黑色，其余为白色．在每次操作中，刺猬可以执行以下操作之一：
   (1)选择两个颜色相同的相邻点，改变它们的颜色（白变黑，黑变白）；
   (2)选择两个颜色不同的相间点（两点之间恰有一个点），改变它们的颜色．
   是否能通过上述操作将每个点的颜色均变成和初始颜色相反．
3. 同八年级组第3题
4. △𝐴𝐵𝐶的外接圆为𝜔，内心为𝐼，𝐾为𝜔上不含点𝐵的弧𝐴𝐶上任意一点．点𝑃为点𝐼关于点𝐾的对称点，𝜔上含点𝐵的弧𝐴𝐶上一点𝑇满足∠𝐾𝐶𝑇=∠𝑃𝐶𝐼．求证：∠𝐴𝐾𝐶和∠𝐴𝑇𝐶的角平分线交点在直线𝐶𝐼上．

十年级组

1. 正实数𝑥，𝑦，𝑧满足

   公式：\frac{xy+1}{x+1}=\frac{yz+1}{y+1}=\frac{zx+1}{z+1}

   它们是否必须全部相等？
2. 同九年级组第2题
3. 𝐴𝐻_(𝐴)，𝐵𝐻_(𝐵)，𝐶𝐻_(𝐶)为△𝐴𝐵𝐶的三条高．求证：若(𝐻_(𝐵)𝐶)/(𝐴𝐶)=(𝐻_(𝐶)𝐴)/(𝐴𝐵)，则𝐵𝐶关于𝐻_(𝐵)𝐻_(𝐶)的对称直线和△𝐻_(𝐵)𝐻_(𝐶)𝐴的外接圆相切．
4. 素数𝑝>2，整系数多项式𝑄满足：不存在整数1≤𝑖<𝑗≤𝑝−1使得公式：(Q(j)-Q(i))(jQ(j)-iQ(i))能被𝑝整除．求𝑄的次数的最小可能值．

十一年级组

1. 同八年级组第2题
2. 起初，计算机的内存中包含一个多项式𝑥^(2)−1．每一分钟，计算机从其内存中选择任意多项式𝑓(𝑥)，并向内存中写入𝑓(𝑥^(2)−1)和𝑓(𝑥)^(2)−1，或者从其内存中选择两个不同多项式𝑔(𝑥)和ℎ(𝑥)，并向内存中写入(𝑔(𝑥)+ℎ(𝑥))/(2)（在这过程中不会删去任何多项式）．在某段时间后，计算机的内存中是否可能存在多项式𝑃(𝑥)=(1)/(1024)(𝑥^(2)−1)^(2048)−1？
3. 求最大的𝑘，满足存在1，2，⋯，2022的一个排列(𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(2022))，使得至少有𝑘个不同的1≤𝑖≤2022，令(𝑎_(1)+𝑎_(2)+⋯+𝑎_(𝑖))/(1+2+⋯+𝑖)为大于1的整数．
4. 𝐴𝐵𝐶𝐷为圆内接四边形．平行于𝐵𝐷的直线𝑙和△𝐴𝐵𝐶、△𝐶𝐷𝐴的内切圆均相切．求证：𝑙经过△𝐵𝐶𝐷或△𝐷𝐴𝐵的内心．