高考强基 2022-02-19

2022年西交大少年班数学试题（回忆版）

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 534 字公式 121 处6 图

已知(1)/(𝑥^(4))−(1)/(𝑥^(2))=3，𝑦^(4)+𝑦^(2)=3，则(1)/(𝑥^(4))+𝑦^(4)的值为___________．
已知点𝑃(4,−3)，𝐴为𝑥轴上的一动点，𝐴𝐵为切线，已知圆𝑃半径为1，则𝐴𝐵的最小值为___________．
𝑥^(2)−(𝑎+3)𝑥+4=0，𝑚，𝑛为该方程两根．则(𝑚^(2)−𝑎𝑚+4)(𝑛^(2)−𝑎𝑛+4)的值为___________．
已知矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=4．𝐸为𝐵𝐶上一动点𝑂𝐶沿𝑂𝐸翻折，当△𝐵𝐸𝐶^(′)为直角三角形时，△𝐵𝐸𝐶^(′)的周长为___________．
𝐴点有一个无人机，一个人在𝐵点观测，离𝐵点45m处𝐶点有一栋建筑物高15√(3)m，无人机水平向右以5m/s的速度飞行．
(1)无人机的高度为___________．
(2)无人机离开视线的时间为___________．
△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，𝑀，𝑁分别为𝐴𝐵，𝐴𝐶边的中点，𝐷为𝑀𝑁上任意一点，线段𝐵𝐷交𝐴𝐶于𝐹，线段𝐶𝐷交𝐴𝐵于𝐸，(1)/(𝐶𝐸)+(1)/(𝐵𝐹)=3，求△𝐴𝐵𝐶的面积．
如图，△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，∠𝐶𝐵𝐺=∠𝐴，𝐶𝐷为直径，𝑂𝐶与𝐴𝐵相交于点𝐸，过𝐸作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，垂足为𝐹，延长𝐶𝐷交𝐺𝐵的延长线于点𝑃，连接𝐵𝐷．
(1)证明：𝑃𝐺与圆𝑂相切；
(2)若(𝐸𝐹)/(𝐴𝐶)=(5)/(8)，求(𝐵𝐸)/(𝑂𝐶)的值；
(3)在(2)的条件下，若圆的半径为4，𝑃𝐷=𝑂𝐷，求𝑂𝐸的长．
已知函数𝑦=𝑚𝑥^(2)+(1−𝑚)𝑥+1+2𝑚．
(1)证明：函数与𝑥轴恒有交点；
(2)证明：无论𝑚为何值，函数必过一定点𝐵；
(3)设函数图像和𝑦轴交点为𝐴，顶点为𝑀．若𝑚=−1，将函数沿𝐴𝑀方向平移，和一定点与原顶点所连线段有交点，求平移后顶点横坐标的范围．
某大学生创业，购进𝐴、𝐵共300件，设𝐵的件数80≤𝑥≤200．𝐴的单价比𝐵的单价多6元．设𝐴，𝐵的总售价分别为函数𝑧_(1)，𝑧_(2)．
𝑧_(1)与销售件数之间是一次函数的关系，如下表：𝑧_(2)与𝑥之间的函数关系如图所示：(1)直接写出𝑧_(1)，𝑧_(2)与𝑥的函数关系；
(2)设销售𝐴，𝐵两种商品所获利总利润为𝑦元，求𝑦与𝑥之间的函数解析式；
(3)大学生引进的300件𝐴，𝐵商品全部售完，共获利350元，他计划每件𝐴，𝐵商品捐给学校基金分别捐2𝑚元，𝑚元, 捐款数恰好为总成本的10%，求𝑚的值．
对于大于1的奇数, 将其平方后拆分成2个相邻的整数, 这三个数为勾股数．
如：3,4,5；5,12,13；7,24,25⋯
对于大于2的偶数，将其除以2再平方，将平方所得数分别加减1，这三个数为勾股数，如8,15,17．
则以这种方法，12所得的勾股数中最大的数为__________．
证明：对于任意实数𝑥，𝑦，求证：[2𝑥]+[2𝑦]≥[𝑥]+[𝑥+𝑦]+[𝑦]．
证明：公式：[x]+\left[x+\dfrac{1}{n}\right]+\left[x+\dfrac{2}{n}\right]+\cdots+\left[x+\dfrac{n-1}{n}\right]=[n x]．