一道清华强基不等式问题的解答和推广

2021年清华大学强基考试的第7题如下：

题目1 已知𝑎,𝑏,𝑐≥0，𝑎+𝑏+𝑐=1，求

先进行因式分解：

公式：\begin{align*} &a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)\\ =&(a-b)(b-c)(a-c)\\ \end{align*}

齐次化后变为如下问题：

题目2 已知𝑎,𝑏,𝑐≥0，求最小的正实数𝑘，使得不等式

公式：|(a-b)(b-c)(c-a)|\leq k(a+b+c)^3

首先对𝑎，𝑏，𝑐进行排序，从而去掉绝对值符号．由不等式的对称性可不妨设𝑎≤𝑏≤𝑐．

另外可以注意到，在上述不等式中，如果将𝑎，𝑏，𝑐同时减去一个不大于𝑎的非负数，不等式的左边不变，右边不增．所得的新不等式比原不等式更强．

于是可将𝑎，𝑏，𝑐替换成0，𝑏−𝑎，𝑐−𝑎，再将𝑏−𝑎，𝑐−𝑎视作整体．（事实上，这样的操作等同于令𝑎=0）此时不等式变为

再进行齐次化，设𝑐=𝑏𝑥（𝑏=0不等式显然成立），可得：

即求最小的正实数𝑘，使得𝑥(𝑥−1)≤𝑘(𝑥+1)^(3)对任意𝑥≥1恒成立．

设𝑓(𝑥)=(𝑥(𝑥−1))/((𝑥+1)^(3))，则𝑘≥𝑓(𝑥)_(max)．由于

于是𝑓(𝑥)在(1,2+√(3))递增，在(2+√(3),+∞)递减．即

公式：f(x)_{\max}=f(2+\sqrt{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{18}．

由此可知𝑘的最小值为(√(3))/(18)．

故原题的答案也为(√(3))/(18)．

此方法在问题复杂时能起到更显著的效果．如下题：

题目3 已知𝑎,𝑏,𝑐≥0，求最大的正实数𝑘，使得不等式

公式：(a+b+c)^5\geq k(ab+bc+ca)(a-b)(b-c)(c-a)

分析 仿照之前，先令𝑎=0，𝑐=𝑏𝑥，可得

故要考虑𝑓(𝑥)=((𝑥+1)^(5))/(𝑥^(2)(𝑥−1))的极值．

由于公式：f'(x)=\dfrac{2(x+1)^4(x^2-3x+1)}{x^3(x-1)^2}，极值点为(3±√(5))/(2)，验证即得𝑘=25√(5)，此时(𝑎,𝑏,𝑐)=(0,√(5)−1,√(5)+1)．

详细解答过程如下：

展开解答收起解答

解答 不妨设𝑎≤𝑏≤𝑐，当𝑎=0，𝑏=√(5)−1，𝑐=√(5)+1时，有𝑘≤25√(5)．下证：

公式：(a+b+c)^5\geq 25\sqrt{5}(ab+bc+ca)(a-b)(b-c)(c-a)

注意到

公式：\begin{align*} &(ab+bc+ca)(bc-ca)(bc-ab)\\ \leq&\left(\dfrac{(ab+bc+ca)+(bc-ca)+(bc-ab)}{3}\right)^3\\ =&b^3c^3 \end{align*}

即

公式：(ab+bc+ca)(c-a)(b-a)\leq b^2c^2

故只需证

(𝑎+𝑏+𝑐)^(5)≥25√(5)𝑏^(2)𝑐^(2)(𝑐−𝑏)

由均值不等式：

公式：\begin{align*} &b^2c^2(c-b)\\ =&\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}b\right)^2\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}c\right)^2(c-b)\\ \leq&\left(\dfrac{(\sqrt{5}+1)b+(\sqrt{5}-1)c+(c-b)}{5}\right)^5\\ =&\dfrac{(b+c)^5}{25\sqrt{5}}\\ \leq&\dfrac{(a+b+c)^5}{25\sqrt{5}} \end{align*}

证毕．

练习1 已知𝑎,𝑏,𝑐≥0，求最大的正实数𝑘，使得不等式

公式：(a+b+c)^5\geq k(a^2+b^2+c^2)(a-b)(b-c)(c-a)

练习2 已知𝑎,𝑏,𝑐≥0，求最大的正实数𝑘，使得不等式

公式：(a^2+b^2+c^2)^3\geq k(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2

练习3 已知𝑎,𝑏,𝑐≥0，求最大的正实数𝑘，使得不等式

公式：(a+b+c)^6\geq k(a^3+b^3+c^3)(a-b)(b-c)(c-a)