一道2023年北大强基离散最值问题的解答

正整数x_(1),x_(2),⋯,x_(9)满足：

• x_(1)<x_(2)<⋯<x_(9)；
• x_(1)+x_(2)+⋯+x_(9)=220．
  当x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4)+x_(5)取得最大值时，求x_(9)−x_(1)的最大值．

这是一道陈题，但原题只需求x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4)+x_(5)的最大值，而本题还需进一步考虑取等条件．

我们先求最大值．

若x_(5)≤24，则x_(4)≤23，x_(3)≤22，x_(2)≤21，x_(1)≤20，于是

若x_(5)≥25，则x_(6)≥26，x_(7)≥27，x_(8)≥28，x_(9)≥29，于是x_(6)+x_(7)+x_(8)+x_(9)≥110，即

综上，有x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4)+x_(5)≤110．

下面考虑取等条件．

从上面的证明过程可以看出，等号成立时x_(5)=24或x_(5)=25．

x_(5)=24时，x_(1)=20，x_(2)=21，x_(3)=22，x_(4)=23．于是

公式：\begin{aligned} 110=&x_6+x_7+x_8+x_9\\ \ge& 25+26+27+x_9 \end{aligned}

即x_(9)≤32，因此x_(9)−x_(1)≤12．

x_(5)=25时，x_(6)=26，x_(7)=27，x_(8)=28，x_(9)=29．于是

公式：\begin{aligned} 110=&x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\\ \le& x_1+22+23+24+25 \end{aligned}

即x_(1)≥16，因此x_(9)−x_(1)≤13．

综上，当x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4)+x_(5)取得最大值时，x_(9)−x_(1)的最大值为为13，此时x_(1),x_(2),⋯,x_(9)的取值依次为

公式：16,22,23,24,25,26,27,28,29