2023年中科大创新班初试数学试题解答

1. 复数z满足z^(2023)−z−1=0，求证：|z|≤1当且仅当ℜ(z)≤−(1)/(2)．

证明：

由题意知：z^(2023)=z+1，两边取模得：|z|^(2023)=|z+1|．于是

公式：\begin{aligned} |z|^{4046}=&|z+1|^2\\ =&(z+1)(\bar{z}+1)\\ =&|z|^2+2\Re(z)+1 \end{aligned}

即公式：2\Re(z)+1=|z|^2(|z|^{2022}+1)(|z|^{2022}-1)．

于是

公式：\begin{aligned} &\Re(z)\le-\dfrac{1}{2}\\ \iff&2\Re(z)+1\le 0\\ \iff&|z|^2(|z|^{2022}+1)(|z|^{2022}-1)\le 0\\ \iff&|z|\le 1 \end{aligned}

2. 设α_(i)^(⃗)（1≤i≤5）为R^(3)中的五个非零向量．求证：存在非零向量β^(⃗)∈R^(3)，使得存在1≤j_(1)<j_(2)<j_(3)<j_(4)≤5，满足β^(⃗)与α_(j_(k))^(→−)的夹角均不超过(π)/(2)（k=1,2,3,4）．

证明：

设α_(i)^(⃗)的起点均为O，终点分别为A_(i)（1≤i≤5）．

考虑平面OA_(1)A_(2)，由抽屉原理，A_(3)、A_(4)、A_(5)中必存在两点，在平面OA_(1)A_(2)的同侧（含平面上），不妨设为A_(3)、A_(4)．

取平面OA_(1)A_(2)的法向量β^(⃗)，且使β^(⃗)指向A_(3)、A_(4)一侧，易知β^(⃗)满足题意．

3. 甲、乙两盒中各放2只兔子，一雌一雄．称一次操作是从甲、乙盒中各随机抽一支兔子交换，记n次操作后甲、乙盒中仍各有一雌一雄的概率为p_(n)．求p_(n)及lim_(n→∞)p_(n)．

解答：

若交换前笼子里均为一雄一雌，则一共有4种交换情况，其中两种交换后仍均为一雄一雌（雄换雄或雌换雌），另两种交换后笼子里为两雄和两雌．而两雄和两雌的情况交换后必然回到均为一雄一雌．于是有递推关系：

公式：p_{n+1}=\dfrac{1}{2}p_n+(1-p_n)=1-\dfrac{1}{2}p_n,p_0=1

于是p_(n+1)−(2)/(3)=−(1)/(2)(p_(n)−(2)/(3))，可得

于是lim_(n→∞)p_(n)=(2)/(3)．

4. (1)x>0，证明：x−(x^(3))/(6)<sin⁡x<x．
   (2)0<a_(1)<√(3)，a_(n+1)=a_(n)−(sin⁡a_(n))/(n+1)．证明：对任意正整数n，都有na_(n)<(3a_(1))/(3−a21)．

证明：

(1)求导易证，实际上为sin⁡x一阶和三阶的泰勒展开，是第二问的提示．

(2)由题意知：

公式：\begin{aligned} (n+1)a_{n+1}=&(n+1)a_n-\sin a_n\\ < &(n+1)a_n-a_n+\dfrac{1}{6}a_n^3\\ =&na_n+\dfrac{1}{6}a_n^3 \end{aligned}

于是(a_(n))/(a_(n+1))<(n+1)/(n)，归纳易知a_(n)递减，因此

公式：\begin{aligned} \dfrac{1}{na_n}<&\dfrac{1}{(n+1)a_{n+1}}+\dfrac{a_n^2}{6n(n+1)a_{n+1}}\\ <&\dfrac{1}{(n+1)a_{n+1}}+\dfrac{a_n}{6n^2}\\ <&\dfrac{1}{(n+1)a_{n+1}}+\dfrac{a_1}{6n^2}\\ \end{aligned}

累加得：

公式：\begin{aligned} \dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{na_n}<&\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{a_1}{6k^2}\\ <&\dfrac{a_1}{6}\left(1+\sum_{k=2}^{n-1}\dfrac{1}{k(k-1)}\right)\\ =&\dfrac{a_1}{6}\cdot\left(2-\dfrac{1}{n-1}\right)\\ <&\dfrac{a_1}{3} \end{aligned}

解得：na_(n)<(3a_(1))/(3−a21)，证毕．

5. 将正整数去除完全平方数后由小到大排成一排，记作a_(1),a_(2),⋯．比如a_(1)=2，a_(2)=3，a_(3)=5，⋯．求证：对任意正整数n，都有|a_(n)−n−√(n)|<(1)/(2)．

证明：

满足k^(2)<a_(n)<(k+1)^(2)的a_(n)共有2k个，此时有

即(k−1)k<n≤k(k+1)，即公式：(k-\dfrac{1}{2})^2，故k−(1)/(2)<√(n)≤k+(1)/(2)，易知等号无法取得．

在a_(n)之前共有k个完全平方数被去除，于是a_(n)=n+k．

因此−(1)/(2)<a_(n)−n−√(n)<(1)/(2)，证毕．