2024年北大物理卓越计划第三题解答

题目：

已知函数f(x)=x^(3)+ax有且只有一个内接正方形，求a与正方形的边长．

这题与2021年公众号上发布的数学竞赛每日一练第21期的题目基本一致．

但需要证明的是：若有且只有一个内接正方形，则该正方形的中心必然为函数的对称中心（即原点）．

设四个顶点分别为A(x_(1),f(x_(1)))，B(x_(2),f(x_(2)))，C(x_(3),f(x_(3)))，D(x_(4),f(x_(4)))，可得方程组

公式：\begin{cases} x_1+x_3=x_2+x_4\\ x_1^3+ax_1+x_3^3+ax_3=x_2^3+ax_2+x_4^3+ax_4 \end{cases}

若x_(1)+x_(3)≠0，则可得

公式：\begin{cases} x_1+x_3=x_2+x_4\\ x_1x_3=x_2x_4 \end{cases}

于是{x_(1),x_(3)}={x_(2),x_(4)}，矛盾．于是x_(1)+x_(3)=x_(2)+x_(4)=0，证毕．

接下来就是之前发的题目了．

最后再求正方形的边长：

再代入方程解得k=(√(6)−√(2))/(2)（取正值），于是

正方形边长为√(6√(2))．