一个代数恒等式的命制背景

\section*{一个代数恒等式的命制背景}
匈牙利KöMaL2023年十月征解题B5335如下：
\ex 正实数$x,y,z$乘积为$1$，求表达式
$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+\left(z+\frac{1}{z}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\left(z+\frac{1}{z}\right)$$
的所有可能值．
\begin{solution}题目难度不大，直接展开合并就能得到答案为$4$．但有老师问道：这样的题是如何编出的？
观察式子结构，容易联想到如下恒等式：
若$A+B+C=\pi$，则
$$\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1$$
考虑到$x+\dfrac{1}{x}\in[2,+\infty)$，与$\cos A\in[-1,1]$差距很大，我们使用双曲余弦函数．
$$\cosh\theta=\dfrac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}=\cos \mathrm{i}\theta$$
设$A=\mathrm{i}\alpha$，$B=\mathrm{i}\beta$，$C=\mathrm{i}\gamma$，则恒等式变为：
若$\alpha+\beta+\gamma=-\mathrm{i}\pi$，则
$$\left(\frac{e^{\alpha}+e^{-\alpha}}{2}\right)^2+\left(\frac{e^{\beta}+e^{-\beta}}{2}\right)^2+\left(\frac{e^{\gamma}+e^{-\gamma}}{2}\right)^2+2\cdot\frac{e^{\alpha}+e^{-\alpha}}{2}\cdot\frac{e^{\beta}+e^{-\beta}}{2}\cdot\frac{e^{\gamma}+e^{-\gamma}}{2}=1$$
设$x=e^{\alpha}$，$y=e^{\beta}$，$z=-e^{\gamma}$，则$xyz=-e^{\alpha+\beta+\gamma}=-e^{-\mathrm{i}\pi}=1$，上式变为
$$\left(\frac{x+\frac{1}{x}}{2}\right)^2+\left(\frac{y+\frac{1}{y}}{2}\right)^2+\left(-\frac{z+\frac{1}{z}}{2}\right)^2+2\left(\frac{x+\frac{1}{x}}{2}\right)\left(\frac{y+\frac{1}{y}}{2}\right)\left(-\frac{z+\frac{1}{z}}{2}\right)=1$$
即$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+\left(z+\frac{1}{z}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\left(z+\frac{1}{z}\right)=4$$
这就是本题的命制背景．\end{solution}