既然命题人都出洛必达法则了，那我用积分不等式来做也不过分吧

这是前两天的金丽衢十二校二模试卷的最后一题：

题干中介绍了不完全版的洛必达法则（还需要说明使用条件），第（3）问要证明的三角不等式可以先转换到区间(0,(π)/(2))，再求导证明。

参考答案给的则是一种类似于无穷递降的方法：

技巧性很强，但也是这个不等式的一种经典证明方法了。

用这个方法也可以证明如下不等式：

0<x<(π)/(2)时，tan⁡x+sin⁡x>2x．

读者可以自己尝试一下。

(当然用洛必达法则来证明lim_(x→0)(sin⁡x)/(x)=1有点无从吐槽，不如将题干改成介绍夹逼准则，再引导考生证明0<sin⁡x<x这个经典不等式。)

接下来写一个我的证明：（都这么出题了，那我就不限制用到的工具了）

证明：

同上，只需证明：对t∈(0,(π)/(2))，有

公式：\begin{aligned} &\tan t\cdot\sin^2t>t^3\\ \iff&\frac{\tan t}{t}\cdot\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2>1 \end{aligned}

注意到

只需证明：

公式：\int_0^1\sec^2(tx)\mathrm{d}x\cdot\left(\int_0^1\cos(tx)\mathrm{d}x\right)^2>1

由积分形式的Hölder不等式的推广（三个积分相乘）：

公式：\begin{aligned} &\int_0^1\sec^2(tx)\mathrm{d}x\cdot\left(\int_0^1\cos(tx)\mathrm{d}x\right)^2\\ \ge&\int_0^1\left(\sec(tx)\cdot\frac{1}{\sqrt{\cos(tx)}}\cdot\frac{1}{\sqrt{\cos(tx)}}\right)\mathrm{d}x\\ =&\int_0^1\mathrm{d}x\\ =&1 \end{aligned}

等号显然无法成立，证毕．