今天傍晚，吴黎老师在赛题讨论群发了一道原创新题，题目如下：
设𝑛⩾4，𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(𝑛)>0，下标按模𝑛循环（即𝑥_(0)=𝑥_(𝑛)，𝑥_(𝑛+1)=𝑥_(1)）．求最大常数𝑘_(𝑛)，使得对任意满足条件的𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(𝑛)，恒有
∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥_(𝑖)∑_(𝑖=1)^(𝑛)(𝑥_(𝑖))/(𝑥_(𝑖−1)+𝑥_(𝑖+1))⩾𝑘_(𝑛)∑_(𝑖=1)^(𝑛)((𝑥_(𝑖)−𝑥_(𝑖+1))^(2))/(𝑥_(𝑖)+𝑥_(𝑖+1)).以下为我的解答：
令𝑥_(1)=𝑥_(2)=1，𝑥_(𝑘)=𝜀^(𝑘)，∀3≤𝑘≤𝑛，并令𝜀→0_(+)，可得𝑘_(𝑛)≤2．
下证：
∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥_(𝑖)∑_(𝑖=1)^(𝑛)(𝑥_(𝑖))/(𝑥_(𝑖−1)+𝑥_(𝑖+1))⩾2∑_(𝑖=1)^(𝑛)((𝑥_(𝑖)−𝑥_(𝑖+1))^(2))/(𝑥_(𝑖)+𝑥_(𝑖+1)).引理：𝑎,𝑏,𝑐>0，则(𝑏)/(𝑎+𝑐)+(4𝑎)/(𝑎+𝑏)+(4𝑐)/(𝑏+𝑐)≥3．
由(𝑏)/(𝑎+𝑐)+(4𝑎)/(𝑎+𝑏)+(4𝑐)/(𝑏+𝑐)≥((𝑏+2𝑎+2𝑐)^(2))/(𝑏(𝑎+𝑐)+𝑎(𝑎+𝑏)+𝑐(𝑏+𝑐))只需证明：
(𝑏+2𝑎+2𝑐)^(2)⩾3(𝑎^(2)+𝑐^(2)+2𝑎𝑏+2𝑏𝑐);⟺ (𝑎−𝑏+𝑐)^(2)+6𝑎𝑐⩾0;引理成立，回到原题．
记𝑆=∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥_(𝑖)，原不等式
⟺ 𝑆⋅∑_(𝑖=1)^(𝑛)(𝑥_(𝑖))/(𝑥_(𝑖−1)+𝑥_(𝑖+1))⩾2∑_(𝑖=1)^(𝑛)(𝑥_(𝑖)+𝑥_(𝑖+1)−(4𝑥_(𝑖)𝑥_(𝑖+1))/(𝑥_(𝑖)+𝑥_(𝑖+1)));⟺ ∑_(𝑖=1)^(𝑛)(𝑆𝑥_(𝑖))/(𝑥_(𝑖)+𝑥_(𝑖+1))+8∑_(𝑖=1)^(𝑛)(𝑥_(𝑖)𝑥_(𝑖+1))/(𝑥_(𝑖)+𝑥_(𝑖+1))≥4∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥_(𝑖);⟺ ∑_(𝑖=1)^(𝑛)((𝑆)/(𝑥_(𝑖−1)+𝑥_(𝑖+1))+(4𝑥_(𝑖−1))/(𝑥_(𝑖−1)+𝑥_(𝑖))+(4𝑥_(𝑖+1))/(𝑥_(𝑖)+𝑥_(𝑖+1)))⋅𝑥_(𝑖)⩾∑_(𝑖=1)^(𝑛)4𝑥_(𝑖);由𝑆≥𝑥_(𝑖−1)+𝑥_(𝑖)+𝑥_(𝑖+1)和引理即证．
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