代数
含解答
加权均值视角下的三行证明——2025年高联二试不等式
正文文字 89 字公式 31 处
题目：
设m,n,k都是正整数，m≥2，且n≥k≥2，实数x_(1)≥x_(2)≥⋯≥x_(n)≥0，满足以下两个条件：
(1)xm1+xm2+⋯+xmn≥1；
(2)x_(1)+x_(2)+⋯+x_(n)≤k．
求证：x_(1)+x_(2)+⋯+x_(k)≥1．
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证明：
若x_(1)>1，结论直接成立．下面只看
的情形．
考虑权重λ_(i)=xm−1i≤x_(i)≤1，有
于是
证毕．
注：
∑_(i=1)^(k)x_(i)≥∑_(i=1)^(n)λ_(i)x_(i)的意义是：
总权重不超过k，单个权重不超过1的变量之和，不超过集中在前k大的数进行求和（权重均为1)．
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