代数 2026-10-13 含解答

借一道简单的原创不等式，纪念今年的生日

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 249 字公式 76 处

题目

设 𝑎_(𝑖),𝑏_(𝑖)（𝑖=1,2,…,1013）为任意非负实数，下标模1013理解．求最大的实数 𝐶，使得不等式

∏_(𝑖=1)^(1013)(𝑎_(𝑖)𝑎_(𝑖+1)+𝑏_(𝑖)𝑏_(𝑖+1))+𝐶∏_(𝑖=1)^(1013)|𝑎_(𝑖)𝑏_(𝑖+1)−𝑏_(𝑖)𝑎_(𝑖+1)|≤∏_(𝑖=1)^(1013)(𝑎2𝑖+𝑏2𝑖)

恒成立。

展开解答收起解答

答案

最大的实数为

𝐶_(max)=2.

构造

对1≤𝑗≤506，令

(𝑎_(2𝑗−1),𝑏_(2𝑗−1))=(1,0),(𝑎_(2𝑗),𝑏_(2𝑗))=(0,1)

并令

(𝑎_(1013),𝑏_(1013))=(1,1).

也就是说，前 1012对在 (1,0)与 (0,1)之间交替，最后一对取 (1,1)．

将这组取值代入原不等式，容易得到

𝐶≤2.

证明

若某一对 (𝑎_(𝑖),𝑏_(𝑖))=(0,0)，则原式中的三个乘积均为零，不等式成立．

以下设每一对都不为 (0,0)．由于 𝑎_(𝑖),𝑏_(𝑖)≥0，可设

(𝑎_(𝑖),𝑏_(𝑖))=𝑟_(𝑖)(cos⁡𝜃_(𝑖),sin⁡𝜃_(𝑖))

其中𝑟_(𝑖)>0,0≤𝜃_(𝑖)≤(𝜋)/(2)．记

𝑥_(𝑖)=|𝜃_(𝑖+1)−𝜃_(𝑖)|,0≤𝑥_(𝑖)≤(𝜋)/(2).

于是

𝑎_(𝑖)𝑎_(𝑖+1)+𝑏_(𝑖)𝑏_(𝑖+1)=𝑟_(𝑖)𝑟_(𝑖+1)cos⁡𝑥_(𝑖),

以及

|𝑎_(𝑖)𝑏_(𝑖+1)−𝑏_(𝑖)𝑎_(𝑖+1)|=𝑟_(𝑖)𝑟_(𝑖+1)sin⁡𝑥_(𝑖).

由循环关系，

∏_(𝑖=1)^(1013)𝑟_(𝑖)𝑟_(𝑖+1)=∏_(𝑖=1)^(1013)𝑟2𝑖.

约去正的公共因子 ∏_(1013)^(𝑖=1)𝑟2𝑖，只需证明

∏_(𝑖=1)^(1013)cos⁡𝑥_(𝑖)+2∏_(𝑖=1)^(1013)sin⁡𝑥_(𝑖)≤1.;(1)

若某个 𝑥_(𝑖)=0，则正弦乘积为零，而余弦乘积不超过 1，式 (1)成立，下设所有 𝑥_(𝑖)>0．

由1013为奇数，熟知存在1≤𝑘≤1013，使得

𝜃_(𝑘)≤𝜃_(𝑘+1)≤𝜃_(𝑘+2)或𝜃_(𝑘)≥𝜃_(𝑘+1)≥𝜃_(𝑘+2).

“
否则，(𝜃_(𝑘)−𝜃_(𝑘+1))(𝜃_(𝑘+1)−𝜃_(𝑘+2))<0恒成立，对1≤𝑘≤1013求积即得矛盾．

从而

𝑥_(𝑘)+𝑥_(𝑘+1)=|𝜃_(𝑘+2)−𝜃_(𝑘)|≤(𝜋)/(2).

因此

2sin⁡𝑥_(𝑘)sin⁡𝑥_(𝑘+1)≤1−cos⁡(𝑥_(𝑘)+𝑥_(𝑘+1))≤1.;(2)

将上述两个相邻下标删去，记剩余下标组成的集合为 𝐼，则 |𝐼|=1011．令

𝐴=∏_(𝑖∈𝐼)cos⁡𝑥_(𝑖),𝐵=∏_(𝑖∈𝐼)sin⁡𝑥_(𝑖).

由各因子均在 [0,1]内，以及式 (2)，得到

∏_(𝑖=1)^(1013)cos⁡𝑥_(𝑖)+2∏_(𝑖=1)^(1013)sin⁡𝑥_(𝑖) =𝐴cos⁡𝑥_(𝑘)cos⁡𝑥_(𝑘+1)+2𝐵sin⁡𝑥_(𝑘)sin⁡𝑥_(𝑘+1); ≤𝐴+𝐵.;

由于 𝐼中至少还有两个下标，任取不同的 𝑝,𝑞∈𝐼。其余因子均不超过 1，故

𝐴≤cos⁡𝑥_(𝑝)cos⁡𝑥_(𝑞),𝐵≤sin⁡𝑥_(𝑝)sin⁡𝑥_(𝑞).

𝐴+𝐵 ≤cos⁡𝑥_(𝑝)cos⁡𝑥_(𝑞)+sin⁡𝑥_(𝑝)sin⁡𝑥_(𝑞); =cos⁡(𝑥_(𝑝)−𝑥_(𝑞)); ≤1.;

证毕．

不等式解题研究

在公众号查看原文 ↗ 反馈点公式可复制源码

留言

正常留言提交后可直接显示，无需人工审核；仍会经过防刷与垃圾内容过滤。请不要留下手机号等私人信息。解法、疑问都可以说；公式用 LaTeX：行内 $…$ ，整行 $$…$$。

题目

答案

构造

证明

留言

相关文章