代数 2026-08-28 含解答

用正负分离解答2026年8月谜之竞赛不等式

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 107 字公式 38 处

题目：

设实数 𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(100)满足：对任意 𝑖,𝑗∈1,2,⋯,100（𝑖,𝑗允许相同），均有𝑎_(𝑖)𝑎_(𝑗)≤max{0,𝑎_(𝑖+𝑗)}，其中下标按模100理解．求𝑎_(1)+𝑎_(2)+⋯+𝑎_(100)的最小可能值．（李天勤供题）

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𝑎_(𝑖)=⎧⎩⎨⎪⎪−(1)/(2), 𝑖 为奇数,;(1)/(4), 𝑖 为偶数.;

容易验证其满足题意．

设𝑎_(1),⋯,𝑎_(100)中有 𝑡个为负数．记

∑_(𝑎_(𝑖)>0)𝑎_(𝑖)=𝐴,∑_(𝑎_(𝑖)<0)𝑎_(𝑖)=−𝐵.

𝑡=0时，不等式显然成立．下设 𝑡>0．

任取一个 𝑎_(𝑖)<0，则对每个 𝑎_(𝑗)<0，有

𝑎_(𝑖+𝑗)≥𝑎_(𝑖)𝑎_(𝑗)>0.

且这些 𝑖+𝑗(mod100)两两不同，故正项也至少有 𝑡个，从而𝑡≤50．

由

−𝑎_(𝑖)𝐵=∑_(𝑎_(𝑗)<0)𝑎_(𝑖)𝑎_(𝑗)≤∑_(𝑎_(𝑗)<0)𝑎_(𝑖+𝑗)≤𝐴,

知

∑_(𝑎_(𝑖)<0)(−𝑎_(𝑖)𝐵)=𝐵^(2)≤𝑡𝐴.

于是

∑_(𝑖=1)^(100)𝑎_(𝑖) =𝐴−𝐵≥(𝐵^(2))/(𝑡)−𝐵; =(1)/(𝑡)(𝐵−(𝑡)/(2))^(2)−(𝑡)/(4); ≥−(𝑡)/(4)≥−(25)/(2).;

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