一道因看错题目产生的好题

2023年北方希望之星数学邀请赛第1题如下：

设正实数a_(1),a_(2),⋯,a_(10)满足：（1）对于1≤i≤10，有a_(i)≥(1)/(i)；（2）对1≤i≤9，有a_(i)a_(i+1)≤1．求S=∑_(i=1)^(10)ia_(i)的最大值．

本题非常简单，可设b_(i)=ia_(i)，于是b_(i)≥1，∀1≤i≤10，b_(i)b_(i+1)≤i(i+1)，∀1≤i≤9．要求∑_(i=1)^(10)b_(i)的最大值．

利用局部不等式(b_(i)−1)(b_(i+1)−1)≥0，可得b_(i)+b_(i+1)≤b_(i)b_(i+1)+1，对i=1,3,5,7,9求和即可．

可以自己思考：为什么不对i=2,4,6,8,10求和，或者对全体1≤i≤10求和？

取最大值时，b_(i)依次为

我将本题放在了本周的预赛模拟卷中，一学生在做的时候，将条件（2）看成了“对1≤i≤10，a_(i)a_(i+1)≤1”（即多了一个a_(10)a_(1)≤1的限制），导致没有做出．

这样改完后，题目难度有所提高，可作为一道联赛第一题，这里写一个我的解答：

先作同样的换元，题目变为：

正实数b_(1),b_(2),⋯,b_(10)满足：对于1≤i≤10，有（1）b_(i)≥1；（2）b_(i)b_(i+1)≤i(i+1)，这里b_(11)=b_(1)．求S=∑_(i=1)^(10)b_(i)的最大值．

来猜一下取等：首先还是把乘积尽可能取到最大值，但由于b_(10)b_(1)≤10，故我们将b_(9)取到72，依次得到b_(i)的取值如下：

此时S=147.25．下证S≤147.25．

（1）考虑b_(1)+b_(2)+b_(3)：

b_(1)≤(2)/(b_(2))，b_(2)∈[1,2]，b_(3)≤(6)/(b_(2))，于是

（2）考虑b_(4)+b_(5)+b_(6)+b_(7)：

（3）考虑b_(8)+b_(9)+b_(10)：

b_(8)≤(72)/(b_(9))，b_(9)∈[1,72]，b_(10)≤(90)/(b_(9))，于是

（i）b_(i)∈[9,72]时，

（ii）b_(9)∈[(9)/(7),9]时，b_(10)≤b_(10)b_(1)≤10

（iii）b_(9)∈[1,(9)/(7)]时，b_(8)≤56，b_(10)≤10

相加即证．