代数 2021-04-28 含解答

换元法证明几道不等式

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 383 字公式 85 处

2008年IMO的第一天第2题第一问如下：

题目1 设实数𝑥，𝑦，𝑧都不等于1，满足𝑥𝑦𝑧=1．求证：

公式：\dfrac{x^2}{(x-1)^2}+\dfrac{y^2}{(y-1)^2}+\dfrac{z^2}{(z-1)^2}\geq 1\text{．}

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分析这题难度并不大，方法也非常多．可以直接配方，可以依据𝑥𝑦𝑧=1这一条件作换元：𝑥=(𝑝)/(𝑞)，𝑦=(𝑞)/(𝑟)，𝑧=(𝑟)/(𝑝)，也可将𝑧=(1)/(𝑥𝑦)代入证明．

在这里，我们将待证式中的(𝑥)/(1−𝑥)，(𝑦)/(1−𝑦)，(𝑧)/(1−𝑧)换为𝑎，𝑏，𝑐进行处理．

证明

令(𝑥)/(1−𝑥)=𝑎，(𝑦)/(1−𝑦)=𝑏，(𝑧)/(1−𝑧)=𝑐．

则𝑥=(𝑎)/(𝑎−1)，𝑦=(𝑏)/(𝑏−1)，𝑧=(𝑐)/(𝑐−1)．

代入𝑥𝑦𝑧=1可得：

𝑎𝑏𝑐=(𝑎−1)(𝑏−1)(𝑐−1)

即

𝑎+𝑏+𝑐−1=𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎

于是

公式：\begin{align*} &\dfrac{x^2}{(x-1)^2}+\dfrac{y^2}{(y-1)^2}+\dfrac{z^2}{(z-1)^2}\\ =&a^2+b^2+c^2\\ =&(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\\ =&(a+b+c)^2-2(a+b+c-1)\\ =&(a+b+c-1)^2+1\\ \geq&1 \end{align*}

证毕．

本题可以加强为：

题目2 𝑎，𝑏，𝑐是三个互不相同的实数，证明：

公式：\left(\dfrac{a-kb}{a-b}\right)^2+\left(\dfrac{b-kc}{b-c}\right)^2+\left(\dfrac{c-ka}{c-a}\right)^2\geq k^2+1\text{．}

事实上，本题等价于如下题目：

题目2' 设实数𝑥，𝑦，𝑧都不等于1，满足𝑥𝑦𝑧=1．求证：

公式：\left(\dfrac{x-k}{x-1}\right)^2+\left(\dfrac{y-k}{y-1}\right)^2+\left(\dfrac{z-k}{z-1}\right)^2\geq k^2+1\text{．}

这和题目1的方法是完全一致的，读者可以自行完成．

特别地，在𝑘=−1时的证明过程中，我们得到如下结论：

若存在实数𝑎，𝑏，𝑐使得𝑥=(𝑎+𝑏)/(𝑎−𝑏)，𝑦=(𝑏+𝑐)/(𝑏−𝑐)，𝑧=(𝑐+𝑎)/(𝑐−𝑎)，则有𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥=−1．

即(1)/(𝑥)+(1)/(𝑦)+(1)/(𝑧)+(1)/(𝑥𝑦𝑧)=0．

于是在出现条件式𝑥+𝑦+𝑧+𝑥𝑦𝑧=0而不方便直接使用时，可以反其道而行之，考虑换元：

公式：x=\dfrac{a-b}{a+b},y=\dfrac{b-c}{b+c},z=\dfrac{c-a}{c+a}

例如下题：

题目3 实数𝑥，𝑦，𝑧满足−1≤𝑥,𝑦,𝑧≤1，且𝑥+𝑦+𝑧+𝑥𝑦𝑧=0．求证：

公式：x+y+z+\dfrac{72}{9+xy+yz+zx}\geq 8\text{．}

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证明

若𝑥=−1，则(𝑦−1)(𝑧−1)=0，不妨设𝑦=1，待证不等式转变为𝑧≥−1，显然成立．

若𝑥=1，则(𝑦+1)(𝑧+1)=0，不妨设𝑦=−1，待证不等式转变为𝑧≥−1，显然成立．

若−1<𝑥,𝑦,𝑧<1，由上可设：

公式：x=\dfrac{a-b}{a+b},y=\dfrac{b-c}{b+c},z=\dfrac{c-a}{c+a}

于是𝑎,𝑏,𝑐>0，原不等式变为：

公式：\dfrac{a-b}{a+b}+\dfrac{b-c}{b+c}+\dfrac{c-a}{c+a}+\dfrac{9(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geq 8

即

公式：\dfrac{9(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}-8-\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0

这是一个轮换式，故可分𝑎≥𝑏≥𝑐和𝑐≥𝑏≥𝑎两种情形讨论．

𝑎≥𝑏≥𝑐时，由9-8恒等式与不等式一文中的“9-8不等式”，有
公式：\dfrac{9(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}-8\geq 0\geq \dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}
故不等式成立．
𝑐≥𝑏≥𝑎时，即证：
公式：\dfrac{2c(a-b)^2+(a+b)(c-a)(c-b)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}-\dfrac{(b-a)(c-a)(c-b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0
只需证
公式：\dfrac{(a+b)(c-a)(c-b)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geq \dfrac{(b-a)(c-a)(c-b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}
即
公式：\dfrac{a+b}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geq \dfrac{b-a}{(a+b)(b+c)(c+a)}
结合恒等式
公式：(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
只需证
公式：2a(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq abc(a+b)
展开显然．