2021年美国初中数学奥林匹克（USAJMO）

昨天发的时候，第一题的公式打错了。给大家带来了不便，敬请谅解。以后一定会仔细审查的。

第一天

1. 记ℕ为正整数集，求所有函数𝑓:ℕ→ℕ，使得对于任意正整数𝑎和𝑏，有

   公式：f(a^2+b^2)=f(a)f(b)，f(a^2)=f(a)^2\text{．}
2. 以锐角△𝐴𝐵𝐶三边为边向外作矩形𝐵𝐶𝐶_(1)𝐵_(2)，𝐶𝐴𝐴_(1)𝐶_(2)和𝐴𝐵𝐵_(1)𝐴_(2)．如果

   公式：\angle BC_1C+\angle CA_1A+\angle AB_1B=180^{\circ}\text{．}

   求证：𝐵_(1)𝐶_(2)，𝐶_(1)𝐴_(2)，𝐴_(1)𝐵_(2)三线共点．
3. 给定边长为𝐿>0的等边三角形Δ．在Δ内互不重叠地放置𝑛个边长为1的正三角形，其三边与Δ的三边分别平行，但方向相反．（下图给出了𝑛=2时的一个例子．）求证：

   𝑛≤(2)/(3)𝐿^(2)．

第二天

4. Carina有三个分别被标记为𝐴，𝐵，𝐶的钉子，起初它们都在坐标平面的原点．每一次操作中，Carina可以将其中一个钉子移动到距离为1的相邻格点．要使△𝐴𝐵𝐶的面积为2021，Carina至少需要多少次操作？（格点指坐标平面中的点(𝑥,𝑦)，其中𝑥和𝑦均为整数，不要求一定为正．）
5. 一个有限的整数集𝑆具有以下性质：对于任意𝑠∈𝑆，以及𝑠的每个正因子𝑑，存在唯一的𝑡∈𝑆，满足gcd(𝑠,𝑡)=𝑑．（𝑠和𝑡可以相等）求𝑆中元素个数的所有可能值．
6. 𝑛≥4为正整数．求如下2𝑛元方程组的所有正实数解：

公式：\begin{align*} a_{1} &=\frac{1}{a_{2 n}}+\frac{1}{a_{2}}, & a_{2}&=a_{1}+a_{3}, \\ a_{3}&=\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{4}}, & a_{4}&=a_{3}+a_{5}, \\ a_{5}&=\frac{1}{a_{4}}+\frac{1}{a_{6}}, & a_{6}&=a_{5}+a_{7} \\ &\vdots & &\vdots \\ a_{2 n-1}&=\frac{1}{a_{2 n-2}}+\frac{1}{a_{2 n}}, & a_{2 n}&=a_{2 n-1}+a_{1} \end{align*}