2022年美国第三届圣诞数学奥林匹克

这是aops上圣诞节讨论组举办的一系列比赛之一，CIME是AIME的模拟赛，CAMO是USAMO的模拟赛，CJMO是USAJMO的模拟赛.

第一天

1. 锐角△𝐴𝐵𝐶的垂心为𝐻，𝑀为𝐵𝐶的中点，𝐷为𝐴在𝐵𝐶上的垂足．点𝑃满足凸四边形𝐻𝑀𝑃𝐷为平行四边形，以𝑃为圆心，且过点𝐵、𝐶的圆和𝐴𝐵再次交于点𝑋，和𝐴𝐶再次交于点𝑌．求证：𝐷、𝑋、𝑌三点共线．
2. 求所有函数𝑓：ℤ→ℤ，使得对任意整数𝑥和𝑦，都有

   公式：f(f(x)f(y))=f(xf(y))+f(y)．
3. 正整数𝑎_(1)<𝑎_(2)<⋯<𝑎_(𝑛)满足：能将正整数集划分为无穷多个互不相交的集合，每个集合均为{𝑎_(1)𝑘,𝑎_(2)𝑘,⋯,𝑎_(𝑛)𝑘}的形式，其中𝑘为正整数．求证：对任意1≤𝑖≤𝑛，都有𝑎_(𝑖)∣𝑎_(𝑛)．

第二天

4. 某机场有10^(2022)×10^(2022)个排列成网格状的登机口，按某种顺序依次编号为1，2，⋯，10^(4044)．一个旅客忘记了她的登机口，一名员工无助地告诉她，她的登机口是独一无二的，只有它的编号比所有相邻（水平和垂直方向）登机口的编号都要小．员工略带同情，允许旅客问一些问题，如果她询问特定登机口的编号，员工会如实回答．（旅客知道机场的布局，但不知道每个登机口的编号）
   求证：不论登机口如何编号，该旅客总能通过至多问10^(2023)个问题而知道自己的登机口．
5. 证明或否定如下命题：对任意正整数𝑘，都有

   公式：\gcd((2k-1)^{2k-1}+(2k+1)^{2k+1},(2k-1)^{2k+1}+(2k+1)^{2k-1})=4k^2.
6. 凸五边形𝐴_(1)𝐴_(2)𝐴_(3)𝐴_(4)𝐴_(5)满足𝐴_(𝑖−1)𝐴_(𝑖+1)∥𝐴_(𝑖−2)𝐴_(𝑖+2)对任意𝑖均成立，这里下标按照模5理解．求证：存在点𝐵_(1)，𝐵_(2)，𝐵_(3)，𝐵_(4)，𝐵_(5)，满足：

• 对任意𝑖，都有𝐵_(𝑖)，𝐴_(𝑖−2)，𝐴_(𝑖+2)共线；
• 五条线段𝐴_(𝑖)𝐵_(𝑖)的长度均相等；
• 五条直线𝐴_(𝑖)𝐵_(𝑖)交于一点．