2022年美国初中圣诞数学奥林匹克

第一天

1. 记⌈𝑥⌉为不小于𝑥的最小整数．是否存在两个相异实数𝑎和𝑏，同时满足以下三个条件：

• 𝑎和𝑏均大于1；
• 𝑎和𝑏均不为整数；
• 对任意正整数𝑛，⌈𝑎^(𝑛)⌉⋅⌈𝑏^(𝑛)⌉均为完全平方数．

2. （同CAMO第1题） 锐角△𝐴𝐵𝐶的垂心为𝐻，𝑀为𝐵𝐶的中点，𝐷为𝐴在𝐵𝐶上的垂足．点𝑃满足凸四边形𝐻𝑀𝑃𝐷为平行四边形，以𝑃为圆心，且过点𝐵、𝐶的圆和𝐴𝐵再次交于点𝑋，和𝐴𝐶再次交于点𝑌．求证：𝐷、𝑋、𝑌三点共线．
3. 正整数𝑎_(1)<𝑎_(2)<⋯<𝑎_(𝑛)满足：能将正整数集划分为无穷多个互不相交的集合，每个集合均为{𝑎_(1)𝑘,𝑎_(2)𝑘,⋯,𝑎_(𝑛)𝑘}的形式，其中𝑘为正整数．求证：能将正有理数集划分为无穷多个互不相交的集合，每个集合均为{𝑎_(1)𝑘,𝑎_(2)𝑘,⋯,𝑎_(𝑛)𝑘}的形式，其中𝑘为正有理数．

第二天

4. 设𝑚和𝑛为正整数，𝑚≥2．对两个相异整数𝑥和𝑦，记𝐷(𝑥,𝑦)为满足𝑚^(𝑑)∣𝑥−𝑦，但𝑚^(𝑑+1)∤𝑥−𝑦的唯一整数𝑑．给定整数集𝑆，若对𝑆中的两个相异元素的所有组合，𝐷(𝑥,𝑦)至多有𝑛个不同的取值，𝑆中的元素至多有多少个？
5. 求所有函数𝑓：ℝ→ℝ，使得对于任意实数𝑥和𝑦，都有

   𝑓(𝑓(𝑥𝑦)+𝑦)=(𝑥+1)𝑓(𝑦).
6. （同CAMO第5题） 证明或否定如下命题：对任意正整数𝑘，都有

   公式：\gcd((2k-1)^{2k-1}+(2k+1)^{2k+1},(2k-1)^{2k+1}+(2k+1)^{2k-1})=4k^2.