2021年美国数学奥林匹克（USAMO）

第一天

1. 以锐角△𝐴𝐵𝐶三边为边向外作矩形𝐵𝐶𝐶_(1)𝐵_(2)，𝐶𝐴𝐴_(1)𝐶_(2)和𝐴𝐵𝐵_(1)𝐴_(2)．如果

   公式：\angle BC_1C+\angle CA_1A+\angle AB_1B=180^{\circ}\text{．}

   求证：𝐵_(1)𝐶_(2)，𝐶_(1)𝐴_(2)，𝐴_(1)𝐵_(2)三线共点．（同USAJMO第2题）
2. 平面国家公园是欧几里德平面的一个子集，由多条在路口相交的小路组成．每条小路在两个不同的路口都有其两个端点，而每个路口恰好是三条小路的端点．两条小路只会在路口处有交点，且交点只能为其端点．每条小路的两个端点不在同一个路口．（公园的一种可能布局示例如下图，其中有六个路口和九条小路．）游客按以下步骤穿过公园：她从一个路口开始，沿着小路散步．在第一条路的尽头，她进入路口并向左转．在下一个路口，她向右转，依此类推，在每个路口交替左转和右转．一直这样走，直至回到起点．在公园的所有可能布局中，步行期间进入任何路口的最大次数是多少？
3. 𝑛≥2为整数．有一块𝑛×𝑛的木板，初始是空的．在每一分钟，可以完成下列三个操作之一：

• 如果木板上有3个单元格组成的𝐿形区域（如下图，不允许旋转），且其中都没有石头，则可以在这3个单元格中各放置一块石头；
• 如果某一行的每一个单元格中均有石头，则可以将这一行的所有石头移除；
• 如果某一列的每一个单元格中均有石头，则可以将这一列的所有石头移除。

对于满足怎样条件的𝑛，可以经过若干次（非零）操作后，使得木板上没有任何石头？

第二天

4. 一个有限的整数集𝑆具有以下性质：对于任意𝑠∈𝑆，以及𝑠的每个正因子𝑑，存在唯一的𝑡∈𝑆，满足gcd(𝑠,𝑡)=𝑑．（𝑠和𝑡可以相等）求𝑆中元素个数的所有可能值．（同USAJMO第5题）
5. 𝑛≥4为正整数．求如下2𝑛元方程组的所有正实数解：

公式：\begin{align*} a_{1} &=\frac{1}{a_{2 n}}+\frac{1}{a_{2}}, & a_{2}&=a_{1}+a_{3}, \\ a_{3}&=\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{4}}, & a_{4}&=a_{3}+a_{5}, \\ a_{5}&=\frac{1}{a_{4}}+\frac{1}{a_{6}}, & a_{6}&=a_{5}+a_{7} \\ &\vdots & &\vdots \\ a_{2 n-1}&=\frac{1}{a_{2 n-2}}+\frac{1}{a_{2 n}}, & a_{2 n}&=a_{2 n-1}+a_{1} \end{align*}

（同USAJMO第6题）

6. 凸六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹满足𝐴𝐵∥𝐷𝐸，𝐴𝐵∥𝐷𝐸，𝐶𝐷∥𝐹𝐴，且

   𝐴𝐵⋅𝐷𝐸=𝐵𝐶⋅𝐸𝐹=𝐶𝐷⋅𝐹𝐴．

   设𝑋，𝑌，𝑍分别为𝐴𝐷，𝐵𝐸，𝐶𝐹的中点．证明：△𝐴𝐶𝐸的外心，△𝐵𝐷𝐹的外心和△𝑋𝑌𝑍的垂心共线．