一道USAMO代数题的解答
正文文字 94 字公式 11 处
题目 𝑛≥4为正整数．求如下2𝑛元方程组的所有正实数解：
公式：\begin{align*}
a_{1} &=\frac{1}{a_{2 n}}+\frac{1}{a_{2}}, & a_{2}&=a_{1}+a_{3}, \\
a_{3}&=\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{4}}, & a_{4}&=a_{3}+a_{5}, \\
a_{5}&=\frac{1}{a_{4}}+\frac{1}{a_{6}}, & a_{6}&=a_{5}+a_{7} \\
&\vdots & &\vdots \\
a_{2 n-1}&=\frac{1}{a_{2 n-2}}+\frac{1}{a_{2 n}}, & a_{2 n}&=a_{2 n-1}+a_{1}
\end{align*}(2021年USAMO第二天第2题)
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解答 注意到
公式：\begin{align*}
a_{2k-1}^2=&\dfrac{a_{2k-1}}{a_{2k-2}}+\dfrac{a_{2k-1}}{a_{2k}}\\
=&\dfrac{a_{2k-1}}{a_{2k-3}+a_{2k-1}}+\dfrac{a_{2k-1}}{a_{2k-1}+a_{2k+1}}
\end{align*}这里的下标按模2𝑛理解．
于是
由Cauchy不等式：
公式：\begin{align*}
n\sum\limits_{k=1}^na_{2k-1}^2=&n^2\\
\leq&\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{2}{a_{2k}}\cdot\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{a_{2k}}{2}\\
=&\sum\limits_{k=1}^na_{2k-1}\cdot\sum\limits_{k=1}^na_{2k-1}\\
\leq&n\sum\limits_{k=1}^na_{2k-1}^2
\end{align*}于是该不等式恰好取得等号，由Cauchy不等式取等条件得：
代入条件得：
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