用Abel变换和加强归纳解一道高联代数题

2021年高联A2卷加试第三题是一个代数最值问题，题目如下：

给定整数n≥2．设非负实数a_(1),a_(2),⋯,a_(n)满足a_(1)≥a_(2)≥⋯≥a_(n)，a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n)=n．求公式：a_1+a_1a_2+a_1a_2a_3+\cdots+a_1a_2\cdots a_n的最小值．

分析：

先猜测取等，由条件，优先猜测变量全部相等或有变量取零．经试验，发现当a_(1)=a_(2)=⋯=a_(n)=1以及a_(1)=n，a_(2)=⋯=a_(n)=0时，公式：a_1+a_1a_2+a_1a_2a_3+\cdots+a_1a_2\cdots a_n均取得n．可合理猜测n即为最小值，下面进行证明．

尝试总结出本题的一些关键特征：“问题和正整数n有关“、“变量有序的关系（不减）”、“要处理若干乘积之和”，我们考虑使用数学归纳法和Abel变换．

记S_(k)=a_(1)+a_(1)a_(2)+⋯+a_(1)a_(2)⋯a_(k)，则

公式：\begin{aligned} S_{n+1}=&a_1+a_1\cdot a_2+a_1a_2\cdot a_3+\cdots+a_1\cdots a_n\cdot a_{n+1}\\ =&a_1+\sum_{k=1}^{n}a_1\cdots a_k\cdot a_{k+1}\\ =&a_1+\sum_{k=1}^{n-1}S_k(a_{k+1}-a_{k+2})+S_na_{n+1}\\ \end{aligned}

这里已经建立起了S_(n+1)与S_(1),⋯,S_(n)的关系，且每个S_(k)的系数均非负，故可以进行放缩，而这需要S_(1),⋯,S_(n)存在不等关系，可以考虑使用第二数学归纳法．

在尝试直接用数学归纳法证明时，我们会遇到新的问题：在n+1的情形下，1,⋯,n情形的前提条件不一定成立（事实上，若条件成立，必有a_(1)=⋯=a_(n+1)=1，而这不是恒成立的）．所以直接使用数学归纳法失败了．

一般而言，在直接使用数学归纳法失败时，我们可以尝试进行加强归纳，主要途径有两种：加强条件（即证明结论对更一般的情况成立）、加强结论（这个很好理解），本题是在条件方面出了问题，所以我们将条件加强．

由a_(1)≥a_(2)≥⋯≥a_(n)可知，这一组变量是“头重脚轻“的，所以如果将条件加强为a_(1)+⋯+a_(n)≥n，那么我么可以由a_(1)+⋯+a_(k+1)≥k+1推出∀1≤i≤k，都有a_(1)+⋯+a_(i)≥i．这样就完成了本题的证明．

具体过程如下：

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解答：

对任意k∈N_(+)，记S_(k)=a_(1)+a_(1)a_(2)+⋯+a_(1)a_(2)⋯a_(k)．

取a_(1)=a_(2)=⋯=a_(n)=1，得S_(n)=n．

下证：∀n≥2，都有S_(n)≥n，从而S_(n)的最小值为n．

将原命题加强为：

给定正整数n，设非负实数a_(1),a_(2),⋯,a_(n)满足a_(1)≥a_(2)≥⋯≥a_(n)，a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n)≥n，则S_(n)≥n．

用第二数学归纳法进行证明：

（1）n=1时，S_(1)=a_(1)≥1，结论成立．

（2）假设n≤k时，结论成立．那么n=k+1时，

由a_(1)≥a_(2)≥⋯≥k+1知，∀1≤i≤k，

(a_(1)+⋯+a_(i))/(i)≥(a_(1)+⋯+a_(k+1))/(k+1)

即a_(1)+⋯+a_(i)≥(i)/(k+1)⋅(k+1)=i．由Abel变换和归纳假设：

公式：\begin{aligned} S_{k+1}=&a_1+a_1\cdot a_2+a_1a_2\cdot a_3+\cdots+a_1\cdots a_k\cdot a_{k+1}\\ =&a_1+\sum_{i=1}^{k}a_1\cdots a_i\cdot a_{i+1}\\ =&a_1+\sum_{i=1}^{k-1}S_i(a_{i+1}-a_{i+2})+S_ka_{k+1}\\ \ge&a_1+\sum_{i=1}^{k-1}i(a_{i+1}-a_{i+2})+ka_{k+1}\\ =&a_1+\sum_{i=1}^k1\cdot a_{i+1}\\ \ge& k+1 \end{aligned}

于是n=k+1时，结论成立．

由（1）（2）知，结论成立，即最小值为n．

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注：

一般而言，在结论仍成立的前提下，适当加强命题进行归纳证明，能大大简化证明过程．这也是数学归纳法的独特之处，加强命题的同时也加强了归纳递推过程中的条件．

可以通过以下简单例子进行理解：

{a_(n)},{b_(n)}定义如下：a_(1)=3，a_(n+1)=3^(a_(n))，b_(1)=8，b_(n+1)=8^(b_(n))．求证：对任意正整数n，a_(n+1)>b_(n)．

读者可以尝试直接归纳、加强为a_(n+1)>2b_(n)、加强为a_(n+1)>3b_(n)三种方法，体会其中区别．

加强归纳的方法在数论和组合问题中也有不少妙用，但核心是找到合适的加强命题．