用Dumpty点的性质证明一道平面几何新题

首先简单介绍Dumpty点（熟悉的读者可以直接看后面的题目）：

点P在△ABC内部，且满足△APB∼△CPA，则称点P为△ABC的A-Dumpty点，简称DM点．

点P具有以下性质：

1. 点P为外心O在A-陪位中线上的射影；

2. B,O,P,C四点共圆；

3. 过A作外接圆的切线，和BC交于点D，则O,P,D三点共线．

证明：

1. 延长AP交⊙(ABC)于点F．由∠CBF=∠CAP=∠ABP，∠BCF=∠BAP=∠ACP知：

于是(BF)/(FC)=(AP)/(PC)=(AB)/(AC)，即ABFC为调和四边形，AP为A-陪位中线．

由∠APB=∠APC，熟知P为AF中点（2011年高联），于是OP⊥AP．

2. 公式：\angle BPC=\angle BAC+\angle ABP+\angle ACP=2\angle BAC=\angle BOC

于是，B,O,P,C四点共圆．

3. 设OD和⊙(BOC)交于点P^(′)（异于点O），则

由OD⊥AD及射影定理知：∠OP^(′)A=90^(∘)，于是P^(′)=P，即O,P,D三点共线．

点P的等角共轭点Humpty点（简称HM）点也很有名，其为垂心H在中线上的射影．

下面用Dumpty点的性质来证明一道几何题：

在锐角△ABC中，M,N分别为边AB,AC的中点．点D在线段BC上，且DB<DC．设P为DM和AC的交点，Q为DN和AB的交点．设△APQ和△AMN的外接圆交于点R（异于点A），点K为AR的中点．求证：∠MKN=2∠BAC．（2024年伊比利亚美洲数学奥林匹克）

证明：

易证△AMN和△ABC关于点A位似，位似比为1:2．由K为AR中点知，K,R为位似对应点，故∠BRC=∠MKN．

只需证明：∠BRC=2∠BAC=∠BOC（其中O为△ABC外心），即B,O,R,C四点共圆．

由Dumpty点的性质，转证：△ARB∼△CRA．

删去无关的点和线后，得到下图：

由相交两圆的性质，容易发现：△MRQ∼△NRP．

由M,N分别为AB,AC中点和相似对应，只需证：(BQ)/(QA)=(AP)/(PC)．

而这用DMP和NDQ截△ABC的梅涅劳斯定理是显然的，证毕．