几何
共 31 篇 平面几何、立体几何、解析几何与几何证明
2026年高联B卷几何命题思路分析：如何尺规作图作出更接近√π的长度
从 2026 年高联 B 卷一道几何题出发讲命题思路：√π 是超越数、不能精确尺规作出，于是先取优良有理逼近（355/113），再把它设计成可作的长度
2022年高联A1卷几何的向量证法&我做的一个手稿转录skill
2022 年高联 A1 卷几何题的向量证法；后半段介绍为整理手稿做的一个转录工具——识别题目与原有解法、补全跳步，并统一几何作图与排版
2026年中国女子数学奥林匹克第一天试题解答
2026 年中国女子数学奥林匹克第一天试题的解答，含数论、几何与组合题
用向量法证明一个“七心连珠”结论
中学时代听到的一个平面几何结论「七心连珠」，用向量法给出一个简单证明
用圆幂定理证明一道两圆相切问题
题目：在 △ ABC 中，BC 中点为 M，弧 BAC 的中点为 N ． L 为 CN 上一点，△ LMN 的外心为 O ．求证：△ LNO 的外接圆与 △ ABC 的 A 鸡爪圆相切． 注：事实上，…
用向量法证明近期两道平面几何二试模拟题
题目1：在 △ ABC 中，点 D,E,F 分别在 BC,CA,AB 上，满足 (BD)/(DC)=(AC)/(AB)，且 BE=CF，E,F 在 BC 的同侧． M 为线段 BC 的中点，N 为线段 EF 的中点，…
2025年USAMO几何题证明
上课前看到数之谜上USAMO的题目出来了，看了一下几何题，很快就做出来了… 题目：证明：作 (AFP) 的外心 O，A 的对径点 Q，…
最近两岸TST第一轮的几何题都非常简单
两道题都是不到10分钟就能做出来的信心题。快要上课了，第二题就写个“熟知”吧，其实不用伊朗反演也是不难的
用余切联合定理证明第17届XMO几何题
余切联合定理：在 △ ABC 中，点 X 在边 AB 上，且 (AX)/(XB)=m/n，∠ AXC=θ ．则 (m+n)cotθ=mcot B-ncot A. 证明：过 C 作 CH⊥ AB 于点 H，…
2024年CMO第一天部分试题解答
没去现场，上课间隙码一下个人解答，第1题偷懒没写引理的证明．
用Dumpty点的性质证明一道平面几何新题
首先简单介绍Dumpty点（熟悉的读者可以直接看后面的题目）：点 P 在 △ ABC 内部，且满足 △ APB∼△ CPA，则称点 P 为 △ ABC 的 A Dumpty点，…
用张角定理证明一道几何题
国庆假期前讲的最后一题，祝大家假期快乐！
2024年高联几何题另证
今年高中数学联赛已过去半个多月，这里发一个我对平面几何题的另解，思路来源于学生在考场上的想法，但后半部分并未完成，我用线性幂差引理续上了这个证明． 线性幂差引理：对两定圆 ω_1,ω_2 和一动点，…
用复数法解一道四边形边长问题
看到金磊大师今天发的文章：用全等及勾股定理解一道较难的四边形边长问题 金老师讲得深入浅出，让人眼前一亮。不过我看到题目的第一想法是：用复数法很好算（解析法也很快）。…
用曲线系方法解2023年ELMO预选题G7
2023年ELMO预选题G7 已知椭圆 E 的焦点为 F_1 和 F_2，P 是 E 上一点．直线 PF_1 和 PF_2 分别再次交 E 于不同的点 A 和点 B，…
2023年中国台湾IMOC几何组
公众号原标题：2023年中国台湾IMOC几何组——中文翻译每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试。从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代。下面就是2023年夏令营的IMOC练习题。…
2023年IMO第一天试题解答
第1题 设 1=d_1< d_2< …< d_k=n 是合数 n 的全部正因数，若对任意 1≤ i≤ k-2，均有 d_i| d_(i+1)+d_(i+2)，…
2023年莫斯科数学奥林匹克砝码题解答
感谢苏淳教授的翻译，这里写一下十一年级组最后两题我的解答。今有一架绝对精准的双盘天平和 50 个砝码，这些砝码的重量分别为 arctan 1 , arctan1/2 , arctan1/3 , … , …
多边形内角余弦之和的取值范围
公众号原标题：【习题研讨】多边形内角余弦之和的取值范围在凸 n 边形 A_1A_2… A_n 中，求 Σ_(i=1)^ncos A_i 的最值（或确界）． 注：本题为我在做今年四川预赛第8题时所想，花了较长时间得到了一个复杂的答案（供参考）：n=3 时，…
【勘误】等轴双曲线内接正三角形的面积最小值
昨天发的文章中有两处错误，感谢读者指出
等轴双曲线内接正三角形的面积最小值
在平面直角坐标系中，点 A，B，C 在双曲线 xy=1 上，满足 △ ABC 为等边三角形．求 △ ABC 的面积的最小值． 注：本题改编自2020年高联一试第11题，…
从布洛卡角的两个性质到两道早年IMO试题
公众号原标题：【教学笔记】从布洛卡角的两个性质到两道早年IMO试题两道相隔近30年的IMO试题，通过布洛卡角竟产生了如此美妙的关联．
几道与圆幂有关的问题
总有人说，我公众号上平面几何内容太少了，想看到一些几何有关的文章。其实，一直没怎么发几何的原因主要有两个：一个是几何水平确实不高，另一个是太懒了，不想每次都用tikz画图，又不喜欢用几何画板。…
用极坐标解答一道圆锥曲线题
近日，有学生问了我一道题：A、B 在椭圆上，且 AB 过椭圆左焦点 F，过 A、B 作椭圆切线交于点 C ．若 |AC|=|AB|，求椭圆离心率的取值范围． 这题答案一看就是一个高次方程的根，不过计算也不太复杂，…
升高维度，解决问题
本文整理自今天的上课笔记，就不再重新用电脑画图了。先来看一道简单的题目：A、B、C 在一条直线上顺次排列，P 为 AC 中点，…
2022年中国台湾IMOC——代数、几何组
公众号原标题：2022年中国台湾IMOC中文翻译——代数、几何组每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，…
2021年普林斯顿数学竞赛（PUMaC）几何组
公众号原标题：2021年普林斯顿数学竞赛（PUMaC）几何组——中文翻译A组 一个圆内切于一个面积为 2024 的正八边形中，设其内接正八边形的面积为 a+b√(c)，其中 a，b，c 为整数，c 无平方因子．求 a+b+c 的值． 在 △ ABC 中，AB=8，AC=10，…
卡诺定理的两个证明
公众号原标题：【教学笔记】卡诺定理的两个证明这是今天在上课时讲的一道例题． 卡诺定理 三角形外心到三边的有向距 外心在边的形内一侧的距离为正，形外为负 之和等于其外接圆与内切圆半径之和． 设三角形为 △ ABC，外心为 O，O 在 BC，CA，…
四面体中的钝二面角个数
题目 （2008年安徽省预赛）四面体的 6 个二面角中钝角个数最多为＿＿＿． 首先容易猜测出答案为 3，并给出一个构造如下：考虑正三棱锥 P-ABC，当点 P 足够接近平面 ABC 时，…
几道2021HMMT春季赛团体赛题目的解答
这是昨天发的 2021哈佛麻省数学竞赛春季赛团体赛 中几道题的解答．如有更好做法，欢迎交流． 第1题（40分） 正整数 a，…
利用牛顿定理解一道几何题
题目 正方形 ABCD 的内切圆为 Γ ．已知 M 为线段 CD 的中点．在线段 AB 上任取一点 P≠ B ．过 M 作 DP 平行线与 Γ 再次交于点 E ．直线 CP，…
