四面体中的钝二面角个数

题目 （2008年安徽省预赛）四面体的6个二面角中钝角个数最多为_______．

首先容易猜测出答案为3，并给出一个构造如下：

考虑正三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶，当点𝑃足够接近平面𝐴𝐵𝐶时，二面角𝐴−𝑃𝐵−𝐶、𝐵−𝑃𝐶−𝐴，𝐶−𝑃𝐴−𝐵均为钝角．

下面证明：钝二面角的个数不可能为4．为方便叙述，我们用𝜃_(𝐴𝐵)表示以𝐴𝐵为棱的二面角．

假设四面体中存在四个钝二面角，考虑剩余两个二面角的位置关系．有如下两种情形：

1. 两个二面角有公共面；
2. 两个二面角无公共面．

我们证明情形1是不可能的．

在情形1中，必有一个面不属于剩余两个二面角，于是这个面与四面体的其余三个面所构成的二面角均为钝角．不妨设平面𝐴𝐵𝐶和剩余3个面所构成的角均为钝角．

我们有如下基本结论：

结论1 若𝑀−𝑃𝑄−𝑁为钝二面角，则𝑀在平面𝑃𝑄𝑁内的射影与𝑁位于𝑃𝑄异侧．

由这一结论，结合𝐷−𝐴𝐵−𝐶，𝐷−𝐵𝐶−𝐴，𝐷−𝐶𝐴−𝐵均为钝二面角，可知，点𝐷在平面𝐴𝐵𝐶上的射影𝐷^(′)与点𝐶位于𝐴𝐵异侧，与点𝐴位于𝐵𝐶异侧，与点𝐵位于𝐶𝐴异侧，而平面𝐴𝐵𝐶上不存在这样的点𝐷^(′)．因此证明了情形1是不可能的．

考虑情形2，不妨设剩余两个二面角为𝜃_(𝐴𝐵)和𝜃_(𝐶𝐷)．

取四面体𝐴𝐵𝐶𝐷的内切球球心𝐼，内切球在四个面上的切点𝑃_(1)，𝑃_(2)，𝑃_(3)，𝑃_(4)．则𝐼𝑃_(1)^(→−)、𝐼𝑃_(2)^(→−)、𝐼𝑃_(3)^(→−)、𝐼𝑃_(4)^(→−)为四面体𝐴𝐵𝐶𝐷四个面的法向量，且均指向四面体外部．于是𝐼𝑃_(𝑖)^(→−)、𝐼𝑃_(𝑗)^(→−)为𝑃_(𝑖)、𝑃_(𝑗)所在四面体两面𝛼_(𝑖)、𝛼_(𝑗)所成二面角的补角．

我们有如下结论：

结论2 𝐼在四面体𝑃_(1)𝑃_(2)𝑃_(3)𝑃_(4)内部．

此结论看似显然，但证明需要花费一些功夫，在此不再赘述．

由结论2，在𝐼𝑃_(1)^(→−)、𝐼𝑃_(2)^(→−)、𝐼𝑃_(3)^(→−)、𝐼𝑃_(4)^(→−)中，任意两个不共线，任意三个不共面．

于是存在唯一的正实数组𝑘_(1)，𝑘_(2)，𝑘_(3)，𝑘_(4)，使得

公式：\sum\limits_{i=1}^{4}k_i=1，\sum\limits_{i=1}^4k_i\cdot\overrightarrow{IP_i}=\overrightarrow{0}．

公式：k_i=\dfrac{V_{I-P_{i+1}P_{i+2}P_{i+3}}}{V_{P_1P_2P_3P_4}}

简记𝑣_(𝑖)^(→)=𝑘_(𝑖)⋅𝐼𝑃_(𝑖)^(→−)，于是

公式：0=\left(\sum\limits_{i=1}^4\overrightarrow{v_i}\right)^2=\sum\limits_{i=1}^4|\overrightarrow{v_i}|^2+2\sum\limits_{1\leq i< j\leq 4}\overrightarrow{v_i}\cdot\overrightarrow{v_j}

由题意知，四个面所成的二面角中，有四个钝角，且剩余两个角无公共面．于是在∑_(1≤𝑖<𝑗≤4)𝑣_(𝑖)^(→)⋅𝑣_(𝑗)^(→)的六项中，四项为正，且剩余两项的四个向量无相同下标，不妨设为𝑣_(1)^(→)⋅𝑣_(2)^(→)和𝑣_(3)^(→)⋅𝑣_(4)^(→)．则

公式：\begin{align*} 0=&\sum\limits_{i=1}^4|\overrightarrow{v_i}|^2+2\sum\limits_{1\leq i< j\leq 4}\overrightarrow{v_i}\cdot\overrightarrow{v_j}\\ >&\sum\limits_{i=1}^4|\overrightarrow{v_i}|^2+2\overrightarrow{v_1}\cdot\overrightarrow{v_2}+2\overrightarrow{v_3}\cdot\overrightarrow{v_4}\\ >&\sum\limits_{i=1}^4|\overrightarrow{v_i}|^2-2|\overrightarrow{v_1}||\overrightarrow{v_2}|-2|\overrightarrow{v_3}||\overrightarrow{v_4}|\\ =&\left(|\overrightarrow{v_1}|-|\overrightarrow{v_2}|\right)^2+\left(|\overrightarrow{v_3}|-|\overrightarrow{v_4}|\right)^2\\ \geq&0 \end{align*}

矛盾！于是钝二面角的个数不可能为4．

也可用三面角的余弦定理进行证明．

三面角的余弦定理 在四面体𝐴𝐵𝐶𝐷中，记号同上．有如下两个结论：

结论3（由平面角计算二面角）

公式：\cos{\theta_{AD}}=\dfrac{\cos{\angle BDC}-\cos{\angle CDA}\cos{\angle ADB}}{\sin{\angle CDA}\sin{\angle ADB}}

结论4（由二面角计算平面角）

公式：\cos{\angle ABC}=\dfrac{\cos{\theta_{BD}}+\cos{\theta_{AB}}\cos{\theta_{BC}}}{\sin{\theta_{AB}}\sin{\theta_{BC}}}

同方法一，我们只考虑𝜃_(𝐴𝐵)和𝜃_(𝐶𝐷)以外的四个二面角为钝角的情形．

则

公式：\cos{\theta_{BD}}+\cos{\theta_{AB}}\cos{\theta_{BC}}< 0

公式：\cos{\theta_{AD}}+\cos{\theta_{AB}}\cos{\theta_{AC}}< 0

由上面的公式2:

即∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐵𝐴𝐶均为钝角，这显然不可能．