数学竞赛每日一练 第1期

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今天的题目是两道形式比较类似的n元不等式。

题目1（2021土耳其TST）求所有的正整数𝑛，使得存在一组实数𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛)满足，对任意𝑖=1,2,⋯,𝑛，均有𝑖≤𝑥_(𝑖)≤2𝑖，且

公式：\dfrac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{\left(x_1+2x_2+\cdots+nx_n\right)^2}=\dfrac{27}{4n(n+1)(2n+1)}

题目2 （2018年巴尔干地区预选题）设𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛)为正实数．证明：

公式：\begin{align*} \sum\limits_{i=1}^nx_i^2\geq&\dfrac{1}{n+1}\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)^2\\ &+\dfrac{12}{n(n+1)(n+2)(3n+1)}\left(\sum\limits_{i=1}^nix_i\right)^2 \end{align*}