数学竞赛每日一练 第1期解答

解答 满足题意的𝑛为所有模9余0,4,8的正整数．

首先证明：

公式：\dfrac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{(x_1+2x_2+\cdots+nx_n)^2}\leq \dfrac{27}{4n(n+1)(2n+1)}

我们知道：

公式：\begin{align*} &1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ \Rightarrow &\dfrac{27}{4n(n+1)(2n+1)}=\dfrac{9}{8(1^2+2^2+\cdots+n^2)} \end{align*}

故只需证明：

公式：\dfrac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{(x_1+2x_2+\cdots+nx_n)^2}\leq \dfrac{9}{8(1^2+2^2+\cdots+n^2)}

即

公式：\begin{align*} &8(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(1^2+2^2+\cdots+n^2)\\ \leq&9(x_1+2x_2+\cdots+nx_n)^2\\ =&(3x_1+6x_2+\cdots+3nx_n)^2 \end{align*}

由于对任意𝑖=1,2,⋯,𝑛，均有𝑖≤𝑥_(𝑖)≤2𝑖．于是(𝑥_(𝑖)−𝑖)(2𝑖−𝑥_(𝑖))≥0，即3𝑖𝑥_(𝑖)≥𝑥2𝑖+2𝑖^(2)．

因此

公式：\begin{align*} &(3x_1+6x_2+\cdots+3nx_n)^2\\ \geq&(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2+2(1^2+2^2+\cdots+n^2))^2 \end{align*}

设𝐴=𝑥21+𝑥22+⋯+𝑥2𝑛，𝐵=1^(2)+2^(2)+⋯+𝑛^(2)．则要证明

公式：8AB\leq(A+2B)^2\iff(A-2B)^2\geq 0

这显然成立，于是不等式成立．

回到原题，要使得等式成立，考虑取等条件，我们有：

对于任意𝑖∈{1,2,⋯,𝑛}，都有𝑥_(𝑖)=𝑖或𝑥_(𝑖)=2𝑖且

公式：x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=2(1^2+2^2+\cdots+n^2)

设满足𝑥_(𝑖)=2𝑖的所有项的下标依次为𝑖_(1)，𝑖_(2)，⋯，𝑖_(𝑘)．则上式变为：

公式：3(i_1^2+i_2^2+\cdots+i_k^2)=1^2+2^2+\cdots+n^2

即

公式：i_1^2+i_2^2+\cdots+i_k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{18}

于是18|𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)，由此可得𝑛模9余0，4，8．下面给出构造：

𝑛=0是平凡的；
3(1^(2)+3^(2))=1^(2)+2^(2)+3^(2)+4^(2)；
3(2^(2)+8^(2))=1^(2)+2^(2)+⋯+8^(2)；
公式：3(1^2+3^2+6^2+7^2)=1^2+2^2+\cdots+9^2；
公式：3(2^2+10^2+13^2)=1^2+2^2+\cdots+13^2；
公式：3(1^2+7^2+16^2+17^2)=1^2+2^2+\cdots+17^2．
进行跨度为18的归纳，假设对𝑛结论成立，那么在𝑛+18时，只需在𝑛+1，𝑛+2，⋯，𝑛+18中找出若干个不同的数𝑛+𝑖_(1)，𝑛+𝑖_(2)，⋯，𝑛+𝑖_(𝑘)，满足

公式：\begin{align*} &3((n+i_1)^2+(n+i_2)^2+\cdots+(n+i_k)^2)\\ =&(n+1)^2+(n+2)^2+\cdots+(n+18)^2\\ \end{align*}

对比𝑛^(2)系数可得𝑘=6，于是𝑖_(1)+𝑖_(2)+⋯+𝑖_(6)=57，𝑖21+𝑖22+⋯+𝑖26=703．因此

公式：\sum\limits_{k=1}^6(i_k-9)(i_k-10)=703-19\times 57+6\times 90=160

这些(𝑖_(𝑘)−9)(𝑖_(𝑘)−10)能取的值为0，2，6，12，20，30，42，56，72．可以发现2+6+72=80，于是取这6个𝑖_(𝑘)为1，7，8，11，12，18即可．

因此本题答案为所有模9余0,4,8的正整数．

证明 注意到

公式：\sum\limits_{i=1}^ni^2+\left(\sum\limits_{i=1}^ni\right)^2=\dfrac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}

令𝑐=(1)/(𝑛+1)∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥_(𝑖)，记𝑦_(𝑖)=𝑥_(𝑖)−𝑐，𝑖=1,2,⋯,𝑛，则注意到

公式：\sum\limits_{i=1}^ny_i=\sum\limits_{i=1}^nx_i-nc=\dfrac{1}{n+1}\sum\limits_{i=1}^nx_i=c

代入可得原式等价于

公式：\sum\limits_{i=1}^n(y_i+c)^2\geq c\sum\limits_{i=1}^n(y_i+c)+\dfrac{\left[\sum\limits_{i=1}^ni(y_i+c)\right]^2}{\sum\limits_{i=1}^ni^2+\left(\sum\limits_{i=1}^ni\right)^2}

化简可得上式等价于

公式：\left(c^2+\sum\limits_{i=1}^ny_i^2\right)\left[\left(\sum\limits_{i=1}^ni\right)^2+\sum\limits_{i=1}^ni^2\right]\geq \left(c\sum\limits_{i=1}^ni+\sum\limits_{i=1}^niy_i\right)^2

由柯西不等式即证．