数学竞赛每日一练 第19期解答

解答 设𝑥=(𝑎+3𝑏)/(𝑎−𝑏)，𝑦=(𝑏+3𝑐)/(𝑏−𝑐)，𝑧=(𝑐+3𝑎)/(𝑐−𝑎)．则

公式：\begin{align*} &(x-1)(y-1)(z-1)\\ =&\dfrac{4b}{a-b}\cdot\dfrac{4c}{b-c}\cdot\dfrac{4a}{c-a}\\ =&\dfrac{4a}{a-b}\cdot\dfrac{4b}{b-c}\cdot\dfrac{4c}{c-a}\\ =&(x+3)(y+3)(z+3) \end{align*}

即

公式：xy+yz+zx+7+3(x+y+z)=0

从而

公式：\begin{align*} &\dfrac{(a+3b)^2}{(a-b)^2}+\dfrac{(b+3c)^2}{(b-c)^2}+\dfrac{(c+3a)^2}{(c-a)^2}\\ =&x^2+y^2+z^2\\ =&(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\\ =&(x+y+z)^2+4(x+y+z)+14\\ =&(x+y+z+2)^2+10\\ \geq&10 \end{align*}

最后，当𝑎=−3，𝑏=1，𝑐=0时，原式取值为10，故原式最小值为10．