数学竞赛每日一练 第17期解答

证明： 记△𝐴𝐵𝑌和△𝐴𝐶𝑋的外接圆半径分别为𝑅_(1)和𝑅_(2)．则

公式：\dfrac{BY}{CX}=\dfrac{2R_1\sin{\angle BAY}}{2R_2\sin{\angle CAX}}=\dfrac{R_1}{R_2}

由𝐴、𝐵、𝑇、𝑌四点共圆，𝐴、𝐶、𝑇、𝑋四点共圆得：

公式：\angle BYT=\angle XCT,\angle CXT=\angle YBT

结合𝐵𝑋=𝐶𝑌，有△𝐵𝑇𝑋≅△𝑌𝑇𝐶．

于是𝑇𝐶=𝑇𝑋，这说明𝑇在∠𝐴的角平分线上，即𝐴、𝐼_(𝐶)、𝐼_(𝐵)、𝑇四点共线．

由“鸡爪定理”，𝑇𝐼_(𝐵)=𝑇𝐵，𝑇𝐼_(𝐶)=𝑇𝐶，于是

公式：\dfrac{TI_B}{TI_C}=\dfrac{TB}{TC}=\dfrac{2R_1\sin\angle \dfrac{A}{2}}{2R_2\sin{\angle \dfrac{A}{2}}}=\dfrac{R_1}{R_2}

于是(𝑇𝐼_(𝐵))/(𝑇𝐼_(𝐶))=(𝐵𝑌)/(𝐶𝑋)，证毕．

\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-euclide}
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoints{1/2.5/A,0/0/B,4/0/C} %定义A、B、C三点
\tkzDefPointWith[linear normed,K=sqrt(2)](B,A)\tkzGetPoint{X} %在线段AB上取点X，使BX=\sqrt{2}
\tkzDefPointWith[linear normed,K=sqrt(2)](C,A)\tkzGetPoint{Y} %在线段AC上取点Y，使CY=\sqrt{2}
\tkzInCenter(A,B,Y)\tkzGetPoint{I_B} %取三角形ABY的内心I_B
\tkzInCenter(A,C,X)\tkzGetPoint{I_C} %取三角形ACX的内心I_C
\tkzDefTriangleCenter[circum](A,B,Y) \tkzGetPoint{O_1}\tkzGetLength{r_1} %定义三角形ABY的外接圆，圆心为O_1，半径为r_1
\tkzDefTriangleCenter[circum](A,C,X) \tkzGetPoint{O_2}\tkzGetLength{r_2} %定义三角形ACX的外接圆，圆心为O_2，半径为r_2
\tkzInterCC(O_1,A)(O_2,A)\tkzGetPoints{A}{T} %两圆交点为A和T
\tkzDrawPoints(I_B,I_C) %作点
\tkzDrawCircle(O_1,A) %作圆
\tkzDrawCircle(O_2,A) %作圆
\tkzDrawSegments(A,B B,C C,A B,Y C,X) %连接线段
\tkzDrawSegments[dashed](T,A T,B T,C) %连接线段（虚线）
\tkzLabelPoints[below](B,C,T)
\tkzLabelPoints[above](A)
\tkzLabelPoints[right](I_B,I_C,Y)
\tkzLabelPoints[left](X)
\end{tikzpicture}