数学竞赛每日一练 第11期解答

证明：存在无穷多个互不相似的三角形△_(𝑛)，其边长𝑎_(𝑛)，𝑏_(𝑛)，𝑐_(𝑛)为正整数，且𝑎2𝑛，𝑏2𝑛，𝑐2𝑛成等差数列．

证明 当𝑎2𝑛，𝑏2𝑛，𝑐2𝑛成等差数列，则

分解得：

公式：(b_n+a_n)(b_n-a_n)=(c_n+b_n)(c_n-b_n)

选取关于𝑛的一个多项式4𝑛(𝑛^(2)−1)做两种途径的分解

公式：\begin{align*} &4n(n^2-1)\\ =&(2n-2)(2n^2+2n)\\ =&(2n^2-2n)(2n+2) \end{align*}

对比目标式，构造

公式：\left\{ \begin{aligned} &a_n=n^2-2n-1\\ &b_n=n^2+1\\ &c_n=n^2+2n-1 \end{aligned}(n\geq 4) \right.

易验证𝑎_(𝑛)，𝑏_(𝑛)，𝑐_(𝑛)满足

公式：(b_n+a_n)(b_n-a_n)=(c_n+b_n)(c_n-b_n)

因此𝑎2𝑛，𝑏2𝑛，𝑐2𝑛成等差数列．

当𝑛≥4时，有𝑎_(𝑛)<𝑏_(𝑛)<𝑐_(𝑛)，且

因此以𝑎_(𝑛)，𝑏_(𝑛)，𝑐_(𝑛)为边长可以构成三角形，将此三角形记为△_(𝑛)（𝑛≥4）．

其次，任取正整数𝑚，𝑛（𝑚,𝑛≥4，且𝑚≠𝑛），假若三角形△_(𝑚)与△_(𝑛)相似，则有：

公式：\dfrac{m^-2m-1}{n^2-2n-1}=\dfrac{m^2+1}{n^2+1}=\dfrac{m^2+2m-1}{n^2+2n-1}

据比例性质有：

公式：\begin{align*} \dfrac{m^2+1}{n^2+1}=&\dfrac{m^2+2m-1}{n^2+2n-1}\\ =&\dfrac{m^2+2m-1-(m^2+1)}{n^2+2n-1-(n^2+1)}\\ =&\dfrac{m-1}{n-1} \end{align*}

公式：\begin{align*} \dfrac{m^2+1}{n^2+1}=&\dfrac{m^2-2m-1}{n^2-2n-1}\\ =&\dfrac{m^2-2m-1-(m^2+1)}{n^2-2n-1-(n^2+1)}\\ =&\dfrac{m+1}{n+1} \end{align*}

所以(𝑚+1)/(𝑛+1)=(𝑚−1)/(𝑛−1)，由此可得𝑚=𝑛，与假设𝑚≠𝑛矛盾，即任两个三角形△_(𝑚)与△_(𝑛)（𝑚,𝑛≥4,𝑚≠𝑛）互不相似，所以存在无穷多个互不相似的三角形△_(𝑛)，其边长𝑎_(𝑛)，𝑏_(𝑛)，𝑐_(𝑛)为正整数𝑎2𝑛，𝑏2𝑛，𝑐2𝑛成等差数列．