数学竞赛每日一练 第14期解答

解答 设𝑥^(3)−4𝑥−𝑦=𝑧，则

记𝑔(𝑡)=𝑡^(2021)+𝑡，则𝑔(𝑡)为单调递增的奇函数．且

于是𝑧=−𝑥，即𝑦=𝑥^(3)−3𝑥．此即为𝑦=𝑓(𝑥)的解析式．

设正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的四个顶点坐标分别为𝐴(𝑥_(1),𝑥31−3𝑥_(1))，𝐵(𝑥_(2),𝑥32−3𝑥_(2))，𝐶(𝑥_(3),𝑥33−3𝑥_(3))，𝐷(𝑥_(4),𝑥34−3𝑥_(4))．

于是由𝐴𝐶，𝐵𝐷互相平分得：

公式：\left\{ \begin{aligned} x_1+x_3=&x_2+x_4\\ x_1^3-3x_1+x_3^3-3x_3=&x_2^3-3x_2+x_4^3-3x_4\\ \end{aligned} \right.

因此

若𝑥_(1)+𝑥_(3)=𝑥_(2)+𝑥_(4)≠0，

则公式：x_1^2-x_1x_3+x_3^2=x_2^2-x_2x_4+x_4^2，

即𝑥_(1)𝑥_(3)=𝑥_(2)𝑥_(4)．

若设𝑥_(1)+𝑥_(3)=𝑥_(2)+𝑥_(4)=𝑎，𝑥_(1)𝑥_(3)=𝑥_(2)𝑥_(4)=𝑏，则𝑥_(1)、𝑥_(3)，𝑥_(2)、𝑥_(4)均为方程

的根，矛盾！

于是𝑥_(1)+𝑥_(3)=𝑥_(2)+𝑥_(4)=0．

再由𝑂𝐴⊥𝑂𝐵可设𝑂𝐴:𝑦=𝑘𝑥，𝑂𝐵:𝑦=−(1)/(𝑘)𝑥．不妨设𝐴，𝐵在第一、四象限．

联立

可得

公式：(k-3)(1+k^2)=\left(-\dfrac{1}{k}-3\right)\left(1+\dfrac{1}{k^2}\right)

即

解得：

考虑到重合的情况，这样的正方形共有2个．

用类似的方法可以解决今天的每日一练(第21期)．