数学竞赛每日一练 第23期解答

证明 首先易知𝑎_(𝑛)>0，所以𝑎_(𝑛+1)=(𝑎_(𝑛))/(1+√(𝑎_(𝑛)))<𝑎_(𝑛)，{𝑎_(𝑛)}单调递减，故𝑎_(𝑛)≤1．

一方面，由

公式：a_{n+1}=\dfrac{a_n}{a+\sqrt{a_n}}\Rightarrow a_{n+1}+a_{n+1}\sqrt{a_n}=a_n

∴𝑎_(𝑛+1)=(𝑎_(𝑛)−𝑎_(𝑛+1))/(√(𝑎_(𝑛)))．

而√(𝑎_(𝑛))>(1)/(2)(√(𝑎_(𝑛))+√(𝑎_(𝑛+1)))

公式：\therefore a_{n+1}< \dfrac{a_n-a_{n+1}}{\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}\right)}=2\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n+1}}\right)

公式：\begin{align*} \therefore S_{100}<&1+2(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}+\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3}+\cdots+\sqrt{a_{99}}-\sqrt{a_{100}})\\ =&1+2(1-\sqrt{a_{100}})\\ <&3 \end{align*}

另一方面，易知𝑛≥2时，𝑎_(𝑛)≤(1)/(2)．

先证明：𝑛≥2时，√(𝑎_(𝑛))<(7)/(12)(√(𝑎_(𝑛))+√(𝑎_(𝑛+1)))．这等价于5√(𝑎_(𝑛))<7√(𝑎_(𝑛+1))，也等价于25𝑎_(𝑛)<49𝑎_(𝑛+1)，即

公式：25a_n< 49\cdot\dfrac{a_n}{1+\sqrt{a_n}}\iff\sqrt{a_n}<\dfrac{24}{25}(n\geq 2)

显然成立．

当𝑛≥2时，

公式：a_{n+1}>\dfrac{a_n-a_{n+1}}{\dfrac{7}{12}\left(\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}\right)}=\dfrac{12}{7}\left(\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_{n+1}}\right)

且由

公式：\begin{align*} &a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+\sqrt{a_n}}\\ \Rightarrow&\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1+\sqrt{a_n}}{a_n}=\dfrac{1}{a_n}+\sqrt{\dfrac{1}{a_n}}\\ \Rightarrow&\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=\sqrt{\dfrac{1}{a_n}}\geq 1 \end{align*}

累加得(1)/(𝑎_(100)≥100)，即𝑎_(100)≤(1)/(100)．因此

公式：\begin{align*} S_{100}>& 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{12}{7}\left(\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3}+\sqrt{a_3}-\sqrt{a_4}+\cdots+\sqrt{a_{99}}-\sqrt{a_{100}}\right)\\ =&1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{6\sqrt{2}}{7}-\dfrac{12}{7}\sqrt{a_{100}}\\ \geq&\dfrac{3}{2}+\dfrac{6\sqrt{2}}{7}-\dfrac{6}{35}\\ >&\dfrac{5}{2} \end{align*}

最后一个不等式等价于6√(2)>8.2，显然成立．

于是(5)/(2)<𝑆_(100)<3．