系列：数学竞赛每日一练
含解答
数学竞赛每日一练 第18期解答
正文文字 42 字公式 13 处
已知数列{𝑎_(𝑛)}满足𝑎_(𝑛)=√((2𝑛−1)/(4𝑛^(2)+1))，前𝑛项和为𝑆_(𝑛)，求与𝑆_(128)−𝑆_(32)最接近的整数．
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解答 易知
公式：\sqrt{\dfrac{2n-1}{4n^2+1}}< \sqrt{\dfrac{1}{2n+1}}< \sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}
所以
公式：\begin{align*}
S_{128}-S_{32}=&\sum\limits_{k=33}^{128}\sqrt{\dfrac{2k-1}{4k^2+1}}\\
<&\sum\limits_{k=33}^{128}\left(\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}\right)\\
=&\sqrt{257}-\sqrt{65}\\
=&\dfrac{192}{\sqrt{257}+\sqrt{65}}\\
<&\dfrac{192}{16+8}\\
=&8
\end{align*}又有𝑛≥2时，
公式：(2n-1)(2n+2)=4n^2+2n-2>4n^2+1
可知
公式：\sqrt{\dfrac{2n-1}{4n^2+1}}>\sqrt{\dfrac{1}{2n+2}}> \sqrt{2n+4}-\sqrt{2n+2}
所以
公式：\begin{align*}
S_{128}-S_{32}=&\sum\limits_{k=33}^{128}\sqrt{\dfrac{2k-1}{4k^2+1}}\\
>&\sum\limits_{k=33}^{128}\left(\sqrt{2k+4}-\sqrt{2k+2}\right)\\
=&2\sqrt{65}-2\sqrt{17}\\
=&\dfrac{96}{\sqrt{65}+\sqrt{17}}\\
<&\dfrac{96}{8+\dfrac{1}{16}+4+\dfrac{1}{8}}\\
>&\dfrac{96}{12+\dfrac{1}{4}}\\
>&\dfrac{15}{2}
\end{align*}则可知与𝑆_(128)−𝑆_(32)最接近的整数为8．
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